天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试数学试题含答案

则

uuuruuur1uuuruuur?uuur1uuur?1uuur21uuur21uuuruuur111BE?BF?(BA?BD)??BD?BA??BD?BA?BA?BD??12??4?23?263263??2?23?322?， 23故答案为：

22． 3三、解答题（共5个小题，每小题15分，共75分） 16．解：（Ⅰ）在VABC中，由余弦定理得：

a2?b2?c2?2bccosA，

又a?4，c?3，cosA??1， 42b2?3b?14?0，

解得b?2； （Ⅱ）由cosA??1， 4所以sinA?15， 4由正弦定理得：

ab?， sinAsinB得sinB?15， 8又0?B??2，

所以cosB?7， 8715172，cos2B?2cosB?1?， 3232- 9 -

所以sin2B?2sinBcosB?

所以sin?2B?????371517117?215， ??????6?23232264故答案为：

17?215．

6417．【解答】证明：（Ⅰ）Q四边形ABCD是正方形，?AB//CD，

Q四边形ADPQ是梯形，PD//QA，AB?QA?A，CD?PD?D， ?平面ABP//平面DCP，

QQB?平面ABQ，?QB//平面PDC．

解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，Q(2,0,1)，

uuuruuuruuurPB?(2,2,?2)，PC?(0,2,?2)，PQ?(2,0,?1)，

r设平面PBC的法向量n?(x,y,z)，

ruuurr??n?PB?2x?2y?2z?0则?ruuu，取y?1，得n?(0,1,1)， r??n?PC?2y?2z?0ur设平面PBQ的法向量??(x,y,z)，

uruuurur??m?PB?2x?2y?2z?0则?u，取x?1，得??(1,1,2)， ruuur??m?PQ?2x?z?0设二面角C?PB?Q的大小为?，由图形得?为钝角，

urr|m?n|33rr???则cos???u，

2|m|?|n|2?6???5?， 65?． 673， 15?二面角C?PB?Q的大小为

（Ⅲ）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为

uuuruuur设DH?t，则H(0,0,t)，A(2,0,0)，AH?(?2,0,t)，PB?(2,2,?2)，

- 10 -

uuuruuuruuuruuur|AH?PB|4?2t73r??|cos?AH,PB?|?uuuruuu?，

215|AH|?|PB|4?t?12解得t?33，?线段DH的长为．

22

cb2118．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e??1?2?，则a?2c，b?3c，

aa2VB1F1F2的面积的面积S?解得：a?2，b?1?2c?b?3，则bc?3， 23，c?1，

x2y2?椭圆的标准方程：??1；

43（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F(?1,0)，由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0， 设直线AC:y?k(x?1)，且k??3，A?x1,y1?，C?x2,y2?，

?y?k(x?1)?22222，整理得：?3?4k?x?8kx?4k?12?0， ?xy2??1?3?48k24k2?12x1?x2??，x1x2?，

3?4k23?4k2则|AC|?1?k2??x1?x2?2?4x1x2?212?1?k2?3?4k2，

12?1?k?1将?代入上式可得|BD|?， 2k4?3k

- 11 -

|AC|3k2?43712则，k?3， ?2???2|BD|4k?3444k?3由k?0，则

233714???2?，k2?3 4444k?33?|AC|?313??134?的取值范围?,???,?． |BD|?415??153?19．解：（1）等比数列?an?的各项均为正数，设公比为q，q?0，

2由2a5,a4,4a6成等差数列，可得2a4?2a5?4a6，即a4?a4q?2a4q，即2q?q?1?0，

2解得q?1（?1舍去）， 2232由a4?4a3，可得a1q?4a1q??2，即a1?n1812a1， 411?1?解得a1?，则an????22?2?数列?bn?的前n项和Sn?n?1?1????； ?2?(n?1)bn，n?N*，且b1?1， 2可得n…2时，Sn?1?n(n?1)n?1nbn?1，又Sn?bn，两式相减可得bn?bn?bn?1， 2222化为

bnnbbb23n??n， ，则bn?b1?2?3?n?1???bn?1n?1b1b2bn?112n?1上式对n?1也成立，则bn?n，n?N*；

?n,n为奇数 ?bn,n为奇数????1?n（2）cn??，

?an,n为偶数???,n为偶数??2?当

n为偶数时，前n项和

1?1?11Pn?(1?3?5?L?n?1)??????n??(1?n?1)2?2?416 - 12 -