江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题含答案

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解析几何应用题

【拓展探究】

1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中AC,BD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记?EFA??，?为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）

（1）用?表示AF的长；

E（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于?的

AD

?函数关系式，并设计?的大小，使“蝴蝶形图案”

BC的面积最小．

F

【解】（1）由抛物线的定义知，AF?AF?cos??2，解得AF?21?cos?，????π??0,2??．

（2）据（1）同理可得BF?221?cos??π??1?sin?， ?2????CF?22221?cos?π????1?cos?，DF?1?cos??3π??1?sin?． ?2????所以“蝴蝶形图案”的面积

S?1221222?1?cos??1?sin??2?1?cos??1?sin?， 即S?4?1?sin?cos??sin2?cos2?，????π??0,2??． 千里之行 始于足下

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令t?1π，则S?4t2?t,t??2,???，所以当t?2，即??时，S的最小值为8．

sin?cos?4??答：当??π时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． 4

2. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S??4lh）

x2y2【解】（1）如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为2?2?1.

ab447887,此时l?2a??33.3.因此隧道的拱宽约为33.377将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a?米.

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千里之行 始于足下

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x2y21124.521124.522?11?4.5（2）由椭圆方程2?2?1，得2?2?1.因为2?2?即ab?99,且

abababab921124.52199?此?.当S取最小值时，有2?2?,得a?112,b?l?2a,h?b,所以S?lh?2ab2422??ab时l?2a?222?31.1,h?b?6.4

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.

3. 如图所示，有两条道路OM与ON，?MON?60，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，

0，若下水管道的总长度为3km，设OA?a(km)，OB?b(km)． B分别在OM，ON上）

（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；

（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到

OM的距离PH为

3km，到点O的距离PO为47km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口4点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．

5. 如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设圆形保护区.规划要求: 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A立一个边界为到该圆

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千里之行 始于足下

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上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan?BCO?4. 3（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？

【解法探究】

（1）解法1：（两角差的正切）连结AC，由题意知tan?ACO?6，则由两角差的正切公式可得：17tan?ACB?tan(?BCO??ACO)?2，故BC?cos?ACB?AC?150m 3答：新桥BC的长度为150m.

解法2：（解析法）由题意可知A(0,60),B(170,0)；由 tan?BCO?直线BC所在直线的方程为y??44可知直线BC的斜率k??，则3343又由AB?BC可知，AB所在的直线方程为y?x?60；(x?170)；

344?y??(x?170)??3联立方程组?，解得x?80,y?120；

3?y?x?60??4即点B(80,120)，那么BC?(80?170)2?1202?150. 答：新桥BC的长度为150m.

解法3：（初中解法）延长CB交OA所在直线于点G，

由tan?BCO?68085050044可得OG?，CG?，AG?，cos?CGO?sin?GCO?，故 333354

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