（1）证明：EM?BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
A
18、【解析】（法一）（1）?EA?平面ABC，BM?平面ABC， ?EA?BM．?1分
又?BM?AC，EA?AC?A，
E
?BM?平面ACFE， 而EM?平面ACFE，
?BM?EM． ??????????3分 ?AC是圆O的直径，??ABC?90?． 又??BAC?30?，AC?4，
?AB?23，BC?2，AM?3,CM?1．
?EA?平面ABC，FC//EA，FC?1，
E
F
O ? M C
B
F
O ? M C
A
?FC?平面ABCD．
??EAM与?FCM都是等腰直角三角形．
??EMA??FMC?45?．
?MF?BM?M， ?EM?平面MBF．
B
??EMF?90?，即EM?MF（也可由勾股定理证得）．????????5分
而BF?平面MBF，
?EM?BF． ???????????????????6分 （2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH?BG，连结FH． 由（1）知FC?平面ABC，BG?平面ABC，
?FC?BG．
而FC?CH?C，?BG?平面FCH． ?FH?平面FCH，
E ?FH?BG，
??FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角． ????????8分 在Rt?ABC中，??BAC?30?，AC?4，
?BM?AB?sin30?F O ? M C H
G ?3．
[来源学科网]
[来源学§科§网Z§X§X§K]A
由
FCEA?GCGA?213，得GC?2．
2B
?BG?BM?MG?23．
又??GCH~?GBM，
?GCBG?CHBM，则CH?GC?BMBG?2?323?1． ?????????11分
??FCH是等腰直角三角形，?FHC?45?．
?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
22． ??????12分
（法二）（1）同法一，得AM?3，BM?3． ??????3分
如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3,3,0),F(0,4,1)，
?????????ME?(0,?3,3),BF?(?3,1,1)． ???4分
z E 由ME?BF?(0,?3,3)?(?3,1,1)?0，
得MF?BF， ?EM?BF． ?????6分 ????????（2）由（1）知BE?(?3,?3,3),BF?(?3,1,1)． ????????F O ? M C y 设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，
[来源学科网ZXXK]
A x ???????????B ??3x?3y?3z?0由n?BE?0,n?BF?0, 得?， ???3x?y?z?0?3,1,2， ???????9分 令x?3得y?1,z?2，?n???????ABCABCAE?(0,0,3)， EA?由已知平面，所以取面的法向量为
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为?，
??则cos??cos?n,AE??3?0?1?0?2?33?22?22， ???????11分
?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
22． ??????12分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． S 17．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S?ABCD中，AB?AD，AB//CD，
CD?3ABA B M D
，平面SAD?平面ABCD，M是线段AD
上一点，AM?AB，DM?DC，SM?AD． （1）证明：BM?平面SMC；
（2）设三棱锥C?SBM与四棱锥S?ABCD的体积 分别为V1与V，求
V1VC
的值．
17．【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【解析】（1） ?平面SAD?平面ABCD,平面SAD?平面ABCD?AD,
SM?平面SAD，SM?AD
?SM?平面ABCD,???????1分 ?BM?平面ABCD,
S
A B M
D
?SM?BM. ???????2分
?四边形ABCD是直角梯形，AB//CD,AM?AB,DM?DC, ??MAB,?MDC都是等腰直角三角形,
??AMB??CMF?45?,?BMC?90?,BM?CM.………………4分 ?SM?平面SMC，CM?平面SMC，SM?CM?M, ?BM?平面SMC…………………………………………6分
C
（2）三棱锥C?SBM与三棱锥S?CBM的体积相等, 由( 1 ) 知SM?平面ABCD,
1V1V313SM?1212BM?CM得?,……………………………………………9分
SM?(AB?CD)?AD设AB?a,由CD?3AB,AM?AB,DM?DC, 得CD?3a,BM?V1V2a,CM?32a,AD?4a,
从而?2a?32a(a?3a)?4a?38. ……………………………12分
16．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是正方形，PB?平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA． （Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的正切值．
M
A
D C
16.
（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．
11
∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，∴EO∥MA，且EO＝MA．
22
∴四边形MAOE是平行四边形．∴ME∥AC． 又∵AC?/平面PMD，ME?平面PMD， ∴AC∥平面PMD． ????3分
P
B
（Ⅲ）解：如图，分别延长PM，BA，设PM∩BA＝G，连DG， 则平面PMD∩平面ABCD＝DG．
不妨设AB＝2，∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2． 过A作AN?DG于N，连MN． ∵PB?平面ABCD，
∴MA?平面ABCD，∴MN?DG．∴?MNA是平面PMD与平面ABCD 所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，
MA2tan?MNA＝＝．
NA2∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是
G N
A 2 2
M
P
B
C
D
图3
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