于是 ，解得 ．
当 时， ，而 时， ，符合 ．
所以 符合要求．满足条件的点 存在，其坐标为 ． 12.解:( )因为 所以设S= （1） S= ???.(2) (1)+(2)得: = , 所以S=3012 ( )由 两边同减去1,得 所以 ,
所以 , 是以2为公差以 为首项的等差数列, 所以 因为 所以 所以 >
13 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 记 ，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 . 求得
当 时; ;当 时，
故 在x=e处取得极小值，也是最小值， 即 ，故 .
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。 令g(x)=x-2lnx,则 当 时， ,当 时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在 上是单调递增函数。
5
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需g(2) （3）存在m= ，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 ,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。 若 ，则 ，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意; 若 ,由 可得2x2-m>0，解得x> 或x<- （舍去） 故 时，函数的单调递增区间为( ,+∞) 单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, )，单调递增区间是( ，+∞) 故只需 = ，解之得m= 即当m= 时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。 14 解（1） 为等腰三角形， 15 解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○1 (i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立； （ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k?(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立. 综上所述，所证不等式成立. (Ⅱ)证：当 而由（Ⅰ）， 6 （Ⅲ）解：假设存在正整数 成立， 即有（ ）+ ＝1. ② 又由（Ⅱ）可得 （ ）+ + 与②式矛盾， 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3. 7
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