1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的简单性质
x2y2
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，
2516y2x2
C2：＋＝1.
2516
思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理 标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|＝2c(c＝a2－b2) |F1F2|＝2c(c＝a2－b2)
范围 对称性 顶点 轴 知识点二 椭圆的离心率
关于____________________对称 长轴长________，短轴长________ 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．
类型一 椭圆的简单性质 引申探究
已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
1
跟踪训练1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
2点坐标及顶点坐标．
类型二 求椭圆的离心率
命题角度1 与焦点三角形有关的离心率问题
x2y2
例2 设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E
ab于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
5
反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝
b21－2a
求解．
x2y2
跟踪训练2 椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰
ab好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
x2y2
例3 (1)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C
ab相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________． x2y2
(2)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，
ab则椭圆的离心率e的取值范围是________．
反思与感悟 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
类型三 利用椭圆的简单性质求方程 例4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；
2
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为85.
3
反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程
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