第二讲 实数

初二数学 授课老师：王老师

第二讲 ：实数

3 11考点剖析：

考点一：对无理数认识

例1、下列四个实数中，是无理数的是（ ）

A. 0 B. －3 C.8 D.

例2、下列各数：

1、π、38、cos60°、0、3，其中无理数的个数是（ ） 3A. 1个 B. 2个 C. 3个 例3、下列实数中，属于无理数的是（ ）

A. －3 B. 3.14 C.

13 练一练、一个直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长a是有理数吗？

总结：什么是无理数？分数一定是无理数吗？ 1.无理数：无限不循环小数称为无理数。

2.任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能。 考点二：平方根与算术平方根的性质及概念的比较 例1、化简100得（ ）

A. 100 B. 10 C.

10 D. ±10

例2、已知实数x、y满足x?1＋|y＋3|=0，则x＋y的值为（ ） A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 例3、16的算术平方根是（ ）

A. 4 B. －2 C. 2 D. ±2

例4、若一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，求a2007的值

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D. 4个D. 33

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例5、若x，y，m适合下列关系式3x?5y?3?m＋2x?3y?m=x?2005?y＋

2005?x?y 试求m的值。

练一练：1.2x?1?536?y?7,x?y的值为多少？ 2.求满足下列各式的未知数x的的值

（1）x^2-361=0 （2）9(3x+2)^2-64=0

总结：算术平方根与平方根的区别与联系？被开方数要满足什么条件？算术平方根的双重非负性是指？

1.联系：平方根包括算术平方根，在平方根和算术平方根当中被开方数都是非负的负数既没有平方根也没有算术平方根。即负数不能开方。 2.区别：定义不同，写法不同，取值范围不同。

考点三：立方根的性质以及实际应用 例1、若a3=8，则a的绝对值是（ ） A. 2 B. －2 C.

11 D. － 22例2、下列计算正确的是（ ） A. －(－3)2=9 B.

327=3 C. －(－2)0=1 D. |－3|=－3

例3.求下列各式中x的值

（1）27x^3-16=48 （2）(5x-3)^3=343

例4、用铁皮制作一个密封的正方形水箱，是其容积为1.728立方米，至少需要多大面积的铁皮。（1.2^3=1.728）

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例5、若x?2+|3y+2|=0，则y的值等于（ ）

X

A. －36 B. －64 C. 36 D. 64

总结：能进行简单的开立方运算，熟记1—6的立方。一个数的立方根有几个？平方根呢？

考点四：估算（比较大小） 例1、在已知实数：－1，0，A. －1 B. 0 C.

1，－2中，最小的一个实数是（ ） 21 D. －2 2例2、以下关于8的说法错误的是（ ） A. 8是无理数 B.

22 C. 2<8< 3 D. 8=22 8=±

例3、在实数0，－π，3，－4中，最小的数是（ ） A. 0 B. －π C.

3 D. －4

例4、设a=50，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）

A. 2和3 B. 4和5 C. 7和8 D. 8和9

总结：怎样比较几个数的大小？例4类似的题目应该怎么做？ 用估算法比较两个数的大小的时候（其中至少有一个无理数），一般先用分析法估算出无理数的大致范围再比较。

考点五：实数在数轴上表示及实数的运算

例1、如图，M、N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（ ）

A. m+n<0 B. －m<－n C. |m|-|n|>0 D. 2+m<2+n

例2、下列计算正确的是（ ）

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A.

5-2=3 B. 2 C. a6 ÷ a2 =a3 D. (－a2)3=－a6 4=±

例3、下列各式中，值不等于4的是（ ） A. －(－4) B.

16 C. |－4| D. －22

例4.计算（1）

31131?4??144-31000 (2)327-0- ?221664

例5.先阅读理解再回答问题 因为1^2?1?2且1<2<2,所以1^2?1的整数部分是1

因为2^2?2=6且2<6<3，所以2^2?2的整数部分是2 因为3^2?3=12且3<12<4，所以3^2?3的整数部分是3 依次类推，我们会发现n^2?n（n为正整数）的整数部分是多少？

总结：数轴上点到原点的距离是表示的什么？ （1）实数和数轴上的点事一一对应的

（2）实数中的无理数的常见类型①含有根号且开方开不尽的数。②圆周率?以及含有圆周率?的数。③看似循环实际不循环的无限不循环小数。（注意带根号的数不一定都是无理数） (3)实数的运算法则：先算开方运算，再算乘除，最后再算加减，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的。

考点六：最简二次根式（包括了二次根式的四则运算：加、减、乘、除） 例1、式子x?1有意义，则x的取值范围是（ ） （此二次根式有意义） A. x>1 B. x<1 C. x≥1 D. x≤1 例2、下列运算正确的是（ ） A.

2?3=2+3 B. (3)2 =3 C. 3a－a=3 D. (a2)3 =a5

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例3、如果ab>0，a+b<0，那么下列各式：?

aaa= ?bbb·ba=1 ?ab÷=－b abA. ?? B. ?? C. ?? D. ???

22例4、化简（x?2）+（x?5）=

例5、把下列各式分母有理化： ⑴

例6、一个等腰三角形两腰长分别为23和52，那么这个三角形的周长等于多少？

总结：二次根式有意义的条件？分母有理化的基本思路是什么？什么是最简二次根式？二次根式的加减与合并同类项之间的关系？二次根式进行混合运算时应该注意些什么？ （1）根式有意义的条件是被开方数为非负数。

（2）最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母：②被开方数不含能开方开的尽的因数或因式。

（3）①二次根式加减运算先把二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并同类项。②二次根式乘除运算：二次根式乘法法则和除法法则：（a?0,b?0）,

32 ⑵ ⑶ 2/(5-3) ⑷ (x-y)/(x+y)

a?2348a?b=abaa(a?0,b>0) ?bb（4）二次根式的混合运算：与有理数的混合运算法则相同。

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