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北京航空航天大学
标准文档《数值分析》计算实习报告
第一大题
学 院：自动化科学与电气工程学院 专 业： 控制科学与工程 学 生 姓 名： 学 号： 教 师： 电 话： 完 成 日 期： 2015年11月6日
北京航空航天大学
Beijing University of Aeronautics and Astronautics
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实习题目：
第一题 设有501?501的实对称矩阵A，
?a1bc??b??????A??c???c?
?????b???cba501???其中，ai?(1.64?0.024i)sin(0.2i)?0.64e(i?1,2,???,501),b?0.16,c??0.064。矩阵A的特征值为?i(i?1,2,???,501)，并且有
0.1i?1??2??????501,|?s|?min|?i|
1?i?5011.求?1，?501和?s的值。 2.求A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik(k?1,2,???,39)。
3.求A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。
说明：
1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平?的，都取??10-12。 2.选择算法时，应使矩阵A的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容： （1）全部源程序；
（2）特征值?1，?501，?s,?ik(k?1,2,...,39）以及cond(A)2,detA的值。 4.采用e型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。
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一、算法设计方案
1、求?1，?501和?s的值。
由于?1??2??????501,|?s|?min|?i|，可知绝对值最大特征值必为?1和?5011?i?501其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值?，如果?=0，则?1=?，否则
?501=?。将矩阵A进行一下平移：
A'?A-?I （1）
对A'用幂法求出其绝对值最大的特征值?'，则A的另一端点特征值?1或?501为?'+?。
?s为按模最小特征值，|?s|?min|?i|，可对A使用反幂法求得。
1?i?5012、求A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik(k?1,2,...,39)。
计算?i(i=1,2,...,501)-?k，其模值最小的值对应的特征值?k与?k最接近。因此对A进行平移变换：
Ak?A-?kI（k?1,2,?,39) （2）
对Ak用反幂法求得其模最小的特征值?k'，则?k=?k'+?k。 3、求A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。
由矩阵A为非奇异对称矩阵可得：
cond(A)2?|?max|?min （3）
其中?max为按模最大特征值，?min为按模最小特征值，通过第一问我们求得的?和?s可以很容易求得A的条件数。
在进行反幂法求解时，要对A进行LU分解得到。因L为单位下三角阵，行
列式为1，U为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A的行列式等于U的行列式，为U的主对角线的乘积。
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二、 算法实现
1、矩阵存储
原矩阵A为一个上、下半带宽都为2的501×501的带状矩阵，由于矩阵中的0元素太多，如果分配一个501×501的空间保存矩阵的话会浪费很多空间。因此，为了节省存储量，A的带外元素不给存储，值存储带内元素，如下C矩阵所示：
?00?0b?C??a1a2??bb??ccc?ccba500b0b?ba3?a499bc??bcc?b??a501? （4） ?0?0??C是一个5×501的矩阵，相比A大大节省了存储空间，在数组C中检索矩阵A的带内元素aij的方法是：
A的带内元素aij?C中的元素ci-j?s?1,j （5）
2、幂法
幂法迭代公式如下：
?任取非零向量u0?Rn???uk?1k?12?? ?yk?1?uk?1/?k?1?uk?Ayk?1?T???yk?1uk?kk?? （6）
其中lim?k??，不断迭代当|?k??k?1|/|?k|??时即可认为其满足精度要求，令???k。
在程序中计算uk?Ayk?1时，根据A矩阵的特点，简化如下：
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