两角和差正余弦公式的证明

(方法 9 ) 如图所示 , 设

,

,

为 , 从而有

的 边上的高。 设 ,

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10) 如图所示 , 设

, 则

为 , 从而

的外接圆直径d, 长度为d。 设 ,

注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和 。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11) 如图所示 ,

, 则

为 。 设

的

边上的高。 设 , 则

,

方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 , 相关的三角函数表示其它

线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。

3. 差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12) 如图所示 ,。 设 , , 记 , 作