∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ
11．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形． （2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF?cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题． 【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，
AB=4， 在RT△AGB中，∵∠ABC=60°∴BG=2，AG=2
，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE=2
，
﹣2，
∴EB=EG﹣BG=2
∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2
﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°， 在RT△EFH中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2∴FH=CF?cos30°=（2
﹣2）?
．
=3﹣
﹣2， ．
∴点F到BC的距离为3﹣
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
12．（2016贵州毕节）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可． 【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC， ∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB， 在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°， ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得：AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形， ∴BD2=2AB2，即BD=2
，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
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