在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE． 选图2中的结论证明如下： 延长EO交CF于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO=∠GCO， 在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC， ∴EO=GO，AE=CG， 在RT△EFG中，∵EO=OG， ∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°=60°﹣30°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=GF， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG+CG， ∴CF=OE+AE． 选图3的结论证明如下： 延长EO交FC的延长线于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF， ∴∠AEO=∠G， 在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG， ∴OE=OG，AE=CG， 在RT△EFG中，∵OE=OG， ∴OE=OF=OG， ∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°=60°﹣30°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=FG， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG﹣CG， ∴CF=OE﹣AE．
18．（2016·5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°湖北荆门·，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；
（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 【解答】解：（1）补全图形，如图所示； （2）由旋转的性质得：∠DCF=90°， ∴∠DCE+∠ECF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCE+∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠BCD， ∵EF∥DC，
∴∠EFC+∠DCF=180°， ∴∠EFC=90°， 在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS）， ∴∠BDC=∠EFC=90°．
3．（2016·湖北荆州·8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．
【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′． 理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA， ∵A′C∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA， ∴∠DA′E=∠DEA′， ∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形． ∵四边形DEFD′是菱形， ∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′， ∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC， 在△A′DE和△EFC′中，
，
∴△A′DE≌△EFC′．
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