如果已知F（T，V），求F对T的偏导数即可得出熵S（T，V）；求F对V的偏导数即可得出压强p（T，V），这就是物态方程。根据自由能的定义，F=U-TS，有
即为吉布斯—亥姆霍兹方程；
（2）已知吉布斯函数的全微分表达式为
因此
，
如果已知G（T，V），求G对T的偏导数即可得出熵S（T，V）；求F对V的偏导数即可得出压强p（T，V），这就是物态方程。根据吉布斯函数的定义，G=U-TS+pV，有
由焓的定义
，得
即为吉布斯—亥姆霍兹方程。
9、推导出克拉珀龙方程和理想气体的蒸汽压方程
解：设（T，p）和（T+dT,p+dT）是两相平衡曲线上临近的两点，在这两点上，两相的化学势都相等：
两式相减的
（1）
表示当沿着平衡曲线由（T，p）变到（T+dT,p+dT）时，两相的化学势的变化相等。化学势的全微分为
分别表示摩尔熵和摩尔体积，
将（2）式代入（1）式得
（2）
或
（3）
以L表示1mol 物质由相转变到相所吸收的相变潜热，因为相变时物质的温度不变，则
5
（4）
将（4）式代入（3）式可得
即为克拉珀龙方程； 在（5）式中略去
，并把气相看作理想气体
，则（5）式可化简为
如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关，将（6）式积分可得
即为蒸汽压方程的近似表达式。 10、简述一级相变和二级相变的特点
解：一级相变：在相变点两相的化学式连续，但化学式的以及偏导数存在突变。在一级相变中两相有各自的非奇异的化学式函数，相变点是两相化学势函数的交点；在相变点两相的化学势相等，两相可以平衡共存，但是两相化学势的一级导数不等，转变时有潜热和比体积突变；在相变的两侧，化学势较低的相是稳定相，化学势较低的相可以作为亚稳态存在。
二级相变：在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变。二级相变没有相变潜热和比体积突变，但是定压比热、定压膨胀系数和等温压缩系数存在突变。
11、简述你对吉布斯佯谬的理解
解：假设有两气体，物质的量各为n，令他们在等温等压下混合，则由
（1）
可知，混合后的熵增为C=2nRln2 （2），这结果与气体的具体性质无关。不过应强调，由于在推导理想气体的吉布斯函数G时用了膜平衡条件，式中的
是对不同气体的求
和，因而（1）式（2）式仅适用于不同气体，对于同种气体，由熵的广延性可知，“混合”后气体的熵应等于“混合”前两气体的熵之和。因此，由性质任意接近的两种气体过渡到同种气体，熵由2nRln2 突变为零。这成为吉布斯佯谬。
12、给出吉布斯相率的数学表达式并详细解释其含义和物理意义 解：吉布斯相率的数学表达式：
；
f称为称为多元相系的自由度，式多元复相系可以独立改变的的强度变量的数目， 表示多元复相系有个相，表示每个相有个组元，2表示外界因素n，多数取n=2，代表压力和温度；
物理意义：吉布斯相律说明了平衡体系中，系统的自由度与相数、组元数之间的关系。 13、简述热力学和统计物理学的区别和联系
解：热力学是用宏观的方法研究热现象，统计物理学是用微观的方法研究热现象。虽然两者都是研究热现象的，但理论体系是完全不一样的；热力学是一门极其优美的理论，只使用最简单的数学方法，通过四大基本定律，也就是热力学第零定律、热力学第一定律、热
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力学第二定律、热力学第三定律，完全不依靠实验，仅从四大基本定律推导出整个理论体系。统计物理学则要使用复杂的数学方法，还要依靠实验； 是由微观到宏观的桥梁，它为各种宏观理论提供依据，已经成为气体 、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和生物学的研究中发挥作用；统计物理为热力学提供了清晰的物理图像和定量的解释。 14、分别给出玻尔兹曼统计分布，波色—爱因斯坦分布，费米—狄克拉公式，并简述三种分布之间的关系
解：玻尔兹曼统计分布： 波色—爱因斯坦分布：
费米—狄克拉分布：
三者之间的关系：玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）；玻色系统遵守玻色分布；费米系统遵守费米分布；满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满足玻耳兹曼分布。
15、给出定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数，并用其表达出内能、广义力和熵 解：定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数为：
内能的统计表达式：
广义力的统计表达式：
熵的统计表达式：
16、简述能量均分定理及其在解释单原子分子、双原子分子和固体比热等模型上的困难 解：能量均分定理：对于处在温度为 T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值
。
对于单原子分子，定压热容与定容热容之比，此理论结果与实验结果符
合的很好，但是在讨论中是将原子看作一个质点，完全没有考虑原子内电子的运动，原子内的电子对热容没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。（没有考虑原子内的电子运动）； 对于双原子分子，定压热容与定容热容之比
，除了在低温之下的氢气以外，
实验结果与理论结果都符合。氢气在低温下的性质经典理论不能解释。此外不考虑两原子的相对运动也缺乏根据。更为合理的假设是两原子保持一定的平均距离做相对简谐振动。
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但是，如果采取这个假设，双原子分子的能量将有七个平方项，能量均分定理给出的结果将与实验结果不符。这一点也是经典理论所不能解释的。（不能解释低温氢气的性质和柔性连接情况）； 对于固体，
，将理论结果与实验结果相比较，在室温范围内符合的很好，但在低
温范围内，实验发现固体的热容随温度降低的很快，当温度趋紧绝对零度时，热容趋近于零。这个结果经典理论不能解释。此外金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于电子，自由电子的热容与粒子振动的热容将具有相同的能级。实验结果是，在3K以上自由电子的热容与粒子振动的热容相比，可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。（不能解释所有理想固体有相同的热容量）。
17、给出普朗克公式，并讨论其在低频和高频内的结果 解：普朗克公式： 23V?d?V?d? U(?,T)d??23?/kT???23?/kT?ce?1?ce?1
现在讨论普朗克公式在高频和低频范围内的极限结果： 在??/kT??1的低频范围，e??kT?1???，普朗克式可近似为 kTVU(?,T)d??23?2kTd?
?c得到瑞利—金斯公式；
在??/kT??1的高频范围内有
，可将普朗克公式分母中的-1忽略而得
VU(?,T)d??23??3e???/kTd?
?c得到维恩公式；
由上式可以看出，当??/kT??1时，当
随的增加而迅速地趋于零，这意味着，
在温度T的平衡辐射中，??/kT??1的高频光子是几乎不存在的；也可以理解为，温度为T时窖壁发射????kT的高频光子概率是极小的。
18、试讨论电子在T=0K时的分布（提示：费米能级的定义及其物理意义）
解：电子在0K时服从费米分布，电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从0K时电子气体的内能为
的状态起依次填充至
止。
，可知0K时电子的平均能量为；0K时电子气
体的压强为。可以看出，费米气体在绝对零度下具有很高的平均能量、动量，
并产生很大压强，并且在绝对零度下的熵为零。
19、试谈一下你对相空间和刘维尔定理的理解
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