金融经济学讲义

险厌恶程度。绝对风险厌恶的Arrow-Pratt度量相对于经济人效用函数的严格正仿射变换是不变的。

当RA(?)是严格的递减函数时，即对于所有的z?R?，

dRA(z)dz?0，那么，个体的

效用函数显示出严格递减的绝对风险厌恶。当RA(?)是严格的递增函数时，即对于所有的

z?R?，

dRA(z)dz?0，那么，个体的效用函数显示出严格递增的绝对风险厌恶。当RA(?)dRA(z)dz是常数函数时，即对于所有的z?R?，

?0，那么，个体的效用函数显示出常数

dRA(z)dz绝对风险厌恶。类似地，当RA(?)是单调递减函数时，即对于所有的z?R?，?0，

那么，个体的效用函数显示出递减的绝对风险厌恶。当RA(?)是单调递增函数时，即对于所有的z?R?，

dRA(z)dz?0，那么，个体的效用函数显示出递增的绝对风险厌恶。

若RA(?)在全部定义域上,

dRA(z)dz的符号相同，Arrow(1970)推导出了这样的效用函

数的一些有趣的性质：在RA(?)的整个定义域上，递减的绝对风险厌恶意味着风险资产是必需品，即风险资产的需求随着个体财富的增加而增加；在RA(?)的整个定义域上，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品，即风险资产的需求随着个体财富的增加而减少；在

RA(?)的整个定义域上，常数的绝对风险厌恶意味着个体对风险资产的需求与他的初始财富

的状况无关。也就是说

性质1：绝对风险厌恶的严格单调性具有下列性质： （1） 如果对于所用z，

dRA(z)dzdRA(z)dzdRA(z)dz?0，那么，对于所有的W0，有

dadW0?0；

（2） 如果对于所用z，

?0，那么，对于所有的W0，有

dadW0?0；

（3） 如果对于所用z，

?0，那么，对于所有的W0，有

dadW0?0；

这里我们只给出第一种情况的证明过程，其他情况与之类似，同学们可以课下自己练习。 证明：

由前面可知，在最优点处有：

??rf))(r??rf)]?0 （2） E[u?(W0(1?rf)?a(r??W(1?r)?a(r??rf)，表示个体在期末的随机财富，对（2）式关于W0求 令W0f导，可得：

da???rf)(1?rf???rf))]?0 E[u??(W)(r(rdW0da?)(r?)(r??rf)(1?rf)?u??(W??rf)2E[u??(W]?0 dW0da?)(r?)(r??rf)]???rf)2]?0 (1?rf)E[u??(WE[u??(WdW0dadW0??)(r??rf)](1?rf)E[u??(W?)(r??rf)2]?E[u??(W

?)?0，因此，分母为正，所以， 严格风险厌恶意味着u??(Wsign(dadW0?)(r??rf)]} )?sign{E[u??(W??rf，在递减的绝对风险厌恶的情况下，如果r因为个体投资于风险资产的资金数是严格正

??W(1?r)。所以，R(W?)?R(W(1?r))。 （3） 的，因此，W0fAA0f??W(1?r)。所以，R(W?)?R(W(1?r))。 （4） ??rf，可知W同样，如果r0fAA0f?)(r??rf)，可得： 在（3）和（4）式两端都乘以?u?(W?)(r??rf，则?u?(W??rf)?0，因此， 如果r?)(r?)(r??rf)??RA(W0(1?rf))u?(W??rf) u??(W?)(r??rf，则?u?(W??rf)?0，因此， 如果r?)(r?)(r??rf)??RA(W0(1?rf))u?(W??rf) u??(W对上面两式同时求期望，可得：

?)(r?)(r?)(r??rf)]?E[u??(W??rf)r??rf?0]P{r??rf}?E[u??(W??rf)r??rf?0]P{r??rf}E[u??(W?)(r?)(r??rf)r??rf?0]P{r??rf}?RA(W0(1?rf))E[u?(W??rf)r??rf?0]P{r??rf}??RA(W0(1?rf))E[u?(W?)(r??rf)]??RA(W0(1?rf))E[u?(W?)(r?)(r??rf)]?0，因此，E[u??(W??rf)]?0 如果最优解存在，则E[u?(W即

dadW0?0。证毕。

性质2：非递减的绝对风险厌恶意味着个体的效用函数的三阶导数严格为正。即如果

dRA(z)dz?0，那么u????0。

u??(?)u?(?)证明：因为RA(?)??，所以，

dRA(z)dz??u???(z)u?(z)?[u??(z)]u??(z)22?0

所以，?u???(z)u?(z)?[u??(z)]?0，又因为u?(z)?0和[u??(z)]?0，所以u????0。

2性质3：如果对于所有的z，

?CzdRA(z)dz?0，那么，对于所有的z，或者u(z)?az?b或者

u(z)?ae。 ?b（其中C?RA(z)为常数）

证明：?dRA(z)dz?0,?RA(z)?C?0，即?u??(z)u?(z)?C。

如果C?0,那么，u??(z)?0，从而u(z)?az?b

如果C?0,那么，lnu?(z)??Cz?lnA(A?0)，即u?(z)?Ae?Cz，从而

u(z)?ae

?Cz?b。

4． 相对风险厌恶

在Arrow-Pratt绝对风险厌恶的基础上，Arrow-Pratt还定义了相对风险厌恶（relative risk aversion）度量，RR(z)?RA(z)z。

相对风险厌恶的严格单调性具有以下性质：在严格递增的相对风险厌恶下，即对于所用

z?R?，

dRR(z)dz?0，那么，个体对风险资产的财富需求弹性严格小于1，也就是说，

当个体的财富严格增加时，其投资于风险资产的初始财富按比例严格减少；在严格递减的相对风险厌恶下，即对于所用z?R?，

dRR(z)dz?0，那么，个体对风险资产的财富需求弹

性严格大于1，也就是说，当个体的财富严格增加时，其投资于风险资产的初始财富按比例严格增加；在常数相对风险厌恶下，即对于所用z?R?，

dRR(z)dz?0，那么，个体对风

险资产的财富需求弹性等于1，也就是说，当个体的财富严格增加时，其投资于风险资产的初始财富按比例不变。即

性质1：相对风险厌恶的严格单调性具有下列性质： （4） 如果对于所用z，

dRR(z)dzdRR(z)dzdRR(z)dz?0，那么有??1；

（5） 如果对于所用z，

?0，那么有??1；

（6） 如果对于所用z，

?0，那么有??1。

这里我们只给出第一种情况的证明过程，其他情况与之类似，同学们可以课下自己练习。 证明：

daW0?aWdWda00a ??1?dW0dW0aaW0da?为风险资产需求的财富弹性，??又因为

dadW0??)r??r[f(?r1Eu??Wf2?(r??rf)?E[u??W((，所

)()以

)]]