数学模型资料[仅供参考]

及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*.

解：x?t?变化规律的数学模型为

dx?t?N?rxln?Ex dtx 记 F(x)?rxlnN?Ex xE?N① 令F?x??0，得rxln?Ex?0 ?x0?Ner，x1?0．

x?平衡点为x0,x1 . 又?F'?x??rlnN?r?E，F'?x0???r?0,F'?x1???． x? 平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.

y rxln rN②最大持续产量的数学模型为： N xy?Ex

e y?f?x?

N 0 x0 ?maxh?Exe? N?s.t.　　rxln?Ex?0,x?0.?x?由前面的结果可得 h?ENe?Erx

EE?dhEN?rdh?Ner?e，令?0. dErdE得最大产量的捕捞强度Em?r．从而得到最大持续产量hm?rN/e，此时渔场鱼量水平

*x0?N． e 量纲分析

5.深水中的波速v与波长?、水深d、水的密度?和重力加速度g有关，试用量纲分析方法给出波速v的表达式.

解：设v,?,d,?，g 的关系为f(v,?,d,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=LMT，[?]=LMT，

0-1

00

[d]=LMT，[?]=LMT， [g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.

00

-3

0

0-2

---------4分

量纲矩阵为

?1?0 A=????1(v)11?30000101?(L)0??(M) ?2??(T)(?)(d)(?)(g)? y1?y2?y3?3y4?y5?0?y4 ?0 ??-y -2y5?0?1齐次线性方程组Ay=0 ，即

的基本解为y1=(1,?11,0,0,?), y2=(0,?1,1,0,0) 221???1?22由量纲Pi定理 得 ?v?g??1

?1???d??2 ∴v??g?1, ?1??(?2), ?2?d?

??v??g?(d)，其中?是未定函数 .

线性规划问题【82页】

6．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

品种 甲 乙 原材料 2 3 能源消耗(百元) 1 6 劳动力(人) 4 2 利润(千元) 4 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000

人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.

解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400 x?6y?2400

4x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z模型的求解：

用图解法.可行域为：由直线

l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400及x?0,y?0组成的凸五边形区域.

直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由?l3:4x?2y?2000

?2x?3y?1400 解得：x?400,y?200

?4x?2y?2000Smax?4?400?5?200?2600（千元）.

故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元. 7. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13

?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内

平行移动x2 .

l1

l2

l

x1

易知：当l过l1与l2

的交点时，z取最大值

?5x1由??2x1?4x2?24?x1 解得 ??5x2?13?x2?4?1

zmax?20?4?10?1?90.

8．量纲分析、存贮问题（包括第九章）、数学规划模型、捕鱼问题、差分方程、概率模型.

填空题（2分/空×10空=20分）

1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是sk?1?sk?(?1)kdk。 2、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。

3、“人口阻滞增长”模型中，当人口数x(t)?xm/2时，人口增长率最大；当人口数

x(t)?xm时，人口增长率为0。

pi24、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是Qi?。

ni(ni?1)5、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是t??wk2vn2?2?rkn。 v6、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是Q?k?T。 d7、“传染病模型”中SIR模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 8、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。

问答题（40分）