多项式插值的振荡现象 - 图文

10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81n=8n=2n=6n=4y=1/(1+25*x2) 从图中可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。 c)当n=40时： 1600014000120001000080006000400020000-2000-1n=39-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。 2.当节点为切比雪夫节点时：xk?b?ab?a?(2k?1)????cos?,k?1,2,?,n?1 ??22?2(n?1)?即错误！未找到引用源。，节点是对称的 a) 当节点为奇数个时，即n=2:2:8时，可以得到： 5

1n=7n=5n=3y=1/(1+25*x2)0.60.80.40.20-0.2n=1-0.4-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，所有区域拟合都越好； b) 当节点为偶数个时，即n=3:2:9时，可以得到： 10.90.80.70.60.5n=30.40.3n=10.20.10-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81n=7n=5y=1/(1+25*x2) 此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；观察结论与节点数为奇数时几乎一样：节点数越多，所有区域拟合都越好； c) 当n=40时，得到： 6

1.41.210.80.6n=70.40.20-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。故而，上面的观察结论是正确的。 （2）h(x)?x1?x4 1.节点为均匀节点时：xi??5?10in,i?0,1,2,?,n a)当节点为奇数时，即n=2：4：10，可以得到如下图像 32n=91n=50n=1y=x/(1+x4)-1-2-3-5-4-3-2-1012345 从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大； b)当节点为偶数时，即n=3：4：11，可以得到如下图像

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10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-5-4-3-2-1012345n=2n=6y=x/(1+x4)n=10 从图中可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。 c)当n=40时： 43210-1-2-3-4-5n=40x 105-4-3-2-1012345 由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。 2.当节点为切比雪夫节点时：xk?b?ab?a?(2k?1)????cos?,k?1,2,?,n?1 ??22?2(n?1)?即错误！未找到引用源。，节点是对称的

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a) 当节点为奇数个时，即n=2:4:10时，可以得到： 从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象； b) 当节点为偶数个时，即n=3:4:11时，可以得到： 从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好 c) 当n=40时，得到： N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合 （3）g(x)?arctanx 9