2020年中考数学压轴题专题训练之几何中的最值问题
，． 1．如图，二次函数y?ax?bx?1的顶点C的坐标为(11)2
(1)求a，b的值；
(2)已知A点为抛物线上异于C的一点，且A点横、纵坐标相等，B为x轴上任意一点，当BA?BC取最小值时，求出B点坐标和此时?ABC的面积． 【答案】(1) a??2,b?4； (2) B点坐标为?【分析】(1)由题意可设y?2?1,0?， ?3?6将(0,?1)代人即可求出解析式，得到a与b； ?a(x?1)2?1，
2(2)可设A点坐标为(m,m)，代入y??2x?4x?1求出m得到点A的坐标??11?,?，，22??作A点关于x轴的对称点A'，连接A?C，交x轴于B点，则此时BA?BC?A?C为最小值，求出直线A?C的解析式，得到直线与x轴交点B的坐标，分别作AM，CN垂直于x轴，垂足分别为M，N，根据S?ABC的面积.
2．如图，在矩形ABCD中，AB?a，BC?2a，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，设MG的中点为H，连接EG，FG．
(1)当点E不与点A重合时，求证：?AME??DMF；
?S四边形AMNC?S?ABM?S?NBC求出?ABC 1
（2）①当点E与点A或点B重合时，?EGF是等腰直角三角形，当点E与点A或点B不重合时，请判定?EGF的形状； ②求点H移动的最长距离．
【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴?A??MDF?90?，
QM是AD的中点， ?AM?DM，
又Q?AME??DMF，
??AME??DMF；
（2）①过点G作GN?AD于N，如图①，
Q?A??B??ANG?90?， ?ABGN是矩形， ?GN?AB?a， QMG?EF， ??GME?90?，
??AME??GMN?90?， Q?AME??AEM?90?，
2
??AEM??GMN， ?AD?BC?2a，
∵M是AD的中点，
?AM?a， ?AM?NG， ??AEM??NMG， ?ME?MG， ??EGM?45?，
由（1）得?AME??DMF，
?ME?MF，
QMG?EF， ?GE?GF，
??EGF?2?EGM?90?， ??GEF是等腰直角三角形；
②如图②，当点E与点A重合时，
QMG?AD， ?MG?BC，
?G为BC的中点，
当点E运动到B时，点G与C重合，
QCG?12BC?a，
3
11?HH'?CG?a，
22∴点H移动的最长距离为
3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(?2,0)，点B(2,0)，点C(0,2)，把?ABC绕点O顺时针旋转（旋转角为锐角），得?MNP，A、B、C旋转后的对应点分别为M、
1a． 2N、P，MP、NP分别与y轴、x轴交于点E、F．
（1）求四边形OEPF的面积；
（2）设ME?m(0?m?22)，S?OEF?S，用含m的式子表示S；
（3）设点P关于原点的对称点为Q，当QE?QF的值最小时，求Q的坐标．（直接写出结果）
【答案】（1）2；（2）S?12m?2m?2；（3）Q(?2,?2) 2【分析】（1）连接OP，有△MNP是等腰直角三角形，证明?FPO≌?EMO，即可得到S?FPO?S?EMO
1?2?2?2即为所求． 21（2）由?FPO≌?EMO，PF?ME?m，根据S?PEF?PF?PE，S?S?OEF=S
2故S四OEPF?S?EPO?S?FPO?S?EPO?S?EMO?S?PMO?四边形OEPF-
S?PEF，即可求出S和m的关系式．
（3）通过图象观察当旋转角为45°时，QE?QF值最小，根据旋转的性质，即可求出Q点坐标．
4
4．如图1，在Rt?ABC中，?A?90?，AB?AC，点D、E分别在边AB、AC上，
AD?AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是_______，位置关系是_______； （2）探究证明把?ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE，判断?PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把?ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?4，AB?10，请直接写出?PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM?PN，PM?PN；（2）?PMN是等腰直角三角形；（3）?PMN面积的最大值为
49. 211CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，22【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝
即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出?DPM??DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD?CE，同（1）的方法得出PN?1BD，21PM?CE，即可得出PM?PN，同（1）的方法即可得出结论；
2（3）先判断出MN最大时，VPMN的面积最大，进而求出AM?22，AN?52，即可得出MN最大值?AM?AN=72，最后用面积公式即可得出结论．
25．如图，抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，
点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E．
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