4．如图1，在Rt?ABC中，?A?90?，AB?AC，点D、E分别在边AB、AC上，
AD?AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是_______，位置关系是_______； （2）探究证明把?ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE，判断?PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把?ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?4，AB?10，请直接写出?PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM?PN，PM?PN；（2）?PMN是等腰直角三角形；（3）?PMN面积的最大值为
49. 211CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，22【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝
即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出?DPM??DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD?CE，同（1）的方法得出PN?1BD，21PM?CE，即可得出PM?PN，同（1）的方法即可得出结论；
2（3）先判断出MN最大时，VPMN的面积最大，进而求出AM?22，AN?52，即可得出MN最大值?AM?AN=72，最后用面积公式即可得出结论．
25．如图，抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，
点D是抛物线上一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E．
5
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，线段DE的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点D的坐标；
（3）若以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，求点D的所有坐标．
【答案】（1）y?125x?x?2；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；（3）点22D的坐标是（2，﹣1）或(2?22,3?2)或(2?22,3?2)．
【分析】(1)利用待定系数法求解可得；
1251m?2)，则E点的坐标为(m，?m?2)，求得DE关
22212于m的函数关系式??m?2??2，根据二次函数的性质即可求解；
2(2)设点D坐标为(m，m?(3)分点D在DE上方和下方两种情况，用m的代数式表示出DE的长度，依据DE=2得出关于m的方程，解之可得
6．在平面直角坐标系中，YABCD的边AB在x轴上，点A??2,0?，线段AB?8，线段AD?6，且?BAD?60?，AD与y轴的交点为E，连接BE．
6
（1）如图1，在线段BE上有两个动点G、K（G在K上方），且KG?3，点F为
BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG?GK?KP的值最小时，求出P的坐标
及?AKG的面积．
（2）?ABE沿x轴平移，当点E平移到BC边上时，平移后的?A1B1E1，在x轴上一动点M，在平面直角坐标系内有一动点N，使点B1,E1,M,N形成的四边形为菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）P（
9，-33），?AKG的面积=23；（2）（12，-23）或（8，23）2或（8+43，-23）
【分析】（1）先根据直角三角形的性质求出OE=23，由勾股定理得BE=43，得出∠ABE=30°，∠EBC=90°，作点F关于EB的对称点H，过H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，则KH=KF，HP的长即KF+KP 的最小值，此时FG?GK?KP的值最小，由（G在K上方），且KG?3可得出此时点G于点B重合，根据直角三角形的性质求出HP、HM、HK、MK、MG的长，即可解答本题；
（2）当点E平移到BC边上时，平移后的?A1B1E1中A1与B重合，?ABE沿x轴平移，分三种情况：①B1E1为对角线时，②B1M为对角线时，③E1M为对角线时，分别画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质等知识一一求解即可．
7
7．（1）如图1，A是eO上一动点，P是eO外一点，在图中作出PA最小时的点A． （2）如图2，Rt?ABC中，?C?90?，AC?8，BC?6，以点C为圆心的eC的半径是3.6，Q是eC上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．
（3）如图3，矩形ABCD中，AB?6，BC?9，以D为圆心，3为半径作eD，E为eD上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt?AEF，?EAF?90?，
1tan?AEF?，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出
3最大或最小值，否则，请说明理由．
【详解】
（1）连接线段OP交eC于A，点A即为所求； 证明:如图1延长PO交⊙O于点B,显然PB> PA.
如图2,在⊙O上任取一点C(与点A，B不重合) ,连结PC，OC. ∵PO 且PO= PA+OA，0A=0C, ∴ PA 由此可得：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 8
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