2020年中考数学压轴题专题训练之几何中的最值问题(含答案)

8．数学课堂上老师对一道课外作业进行了延拓，请同学们解答下列问题：

（1）如图1：∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，AB＝63，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE，则BP与QE的数量关系是：BP QE．

（2）如图2：在（1）的条件下，延长QE交射线BC于点F，若设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，试写出y关于x的函数关系式．

（3）如图3：在（1）的条件中，如果改点P为直线BC上的任意一个动点，其他条件均不变，请探究AP在旋转过程中，△ABQ周长是否存在最小值，如果有，请求出这个值；如果不存在，请说明理由．

11

【答案】（1）＝；（2）y＝3x+33（x＞0）；（3）存在，△ABQ周长最小值为18+623．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△AEQ，可得BP=QE；

（2）在图2中，过点F作FG⊥BE于点G．过点Q作QH⊥BC，垂足为H，由（1）可知△ABP≌△AEQ，可得∠AEQ=∠ABP=90°，由直角三角形的性质可求EF=6，可得QF=QE+EF=x+6，由直角三角形的性质可求解；

（3）先确定点Q的位置，点Q在过点E且垂直于AE的直线上运动，由三边关系可得当点Q在BN上时，△ABQ周长有最小值，即可求解．

12