人教A版高中数学必修4刷题练习：平面向量数量积的坐标表示

第25课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

对应学生用书P71

知识点一 平面向量数量积的坐标表示 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 答案 C

解析 ∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3．

→在CD→方2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB向上的投影为( )

32315A．2 B．2 32315C．－2 D．－2 答案 A

→＝(2，→＝(5，→在CD→方向上的投影为|AB→|cos→，

解析 AB1)，CD5)，向量AB〈AB

→→→→AB·CDAB·CD1532→→

CD〉＝|AB|＝＝＝2．

→→→52|AB||CD||CD|

知识点二 平面向量的模 3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( ) A．3 B．23 C．4 D．12 答案 B

解析 由a＝(2，0)，得|a|＝2，又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos60°＝1， 故|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝23．

4．已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )

881616

A．65 B．－65 C．65 D．－65 答案 C

解析 ∵a＝(4，3)，∴2a＝(8，6)．又2a＋b＝(3，18)，∴b＝(－5，12)，∴a·b

1616

＝65． 5×13

＝－20＋36＝16．又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝

5．已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )

915A．－2 B．0 C．3 D．2 答案 C

解析 ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－

3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3．

6．已知|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则|a－b|＝________． 答案 2

解析 |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b． 又因为a＋b＝(3，1)，

所以(a＋b)2＝4，即a＋2a·b＋b2＝4， 所以a·b＝0， 故|a－b|＝4＝2．

7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；

5

(2)若|b|＝2，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ． 解 (1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25， ∴

x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20．

由c∥a和|c|＝25，

???y－2·x＝0，?1·?x＝2，?x＝－2，可得?解得?或?

22????x＋y＝20，?y＝4，?y＝－4.故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0，

55∴2×5＋3a·b－2×4＝0，整理得a·b＝－2， a·b

∴cosθ＝|a||b|＝－1． 又θ∈[0，π]，∴θ＝π．

知识点三 数量积的应用 →＝(2，2)，OB→＝(4，1)，在x轴上有一点P，使AP→·→有最小

8．已知向量OABP值，则点P的坐标是( )

A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 答案 C

→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)， 解析 设点P(x，0)，则AP

→·→＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴APBP→·→最小，此时点P的坐标为(3，0)． 故当x＝3时，APBP

→＝(1，2)，BD→＝(－3，2)，则AD→·→＝9．已知在平行四边形ABCD中，ACAC________．

答案 3

3→＝AO→＋OD→＝1AC→＋1BD→＝1，解析 设AC，BD相交于点O，则AD1＋－

2222，→＝(1，2)，所以AD→·→＝(－1，2)·

1＝(－1，2)．又ACAC(1，2)＝－1＋4＝3．

→⊥OB→，则向

10．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA