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由①、②可得，故实数a的取值范围是
②
???? 4分
（2）存在 ???? 5分
+ 0 ，
－ 0 极小值 + 极大值 ，
????8分
的极小值为1 ????9分
（3），
， ??10分
证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立 ???? 11分
假设当n=k时结论成立，即
，当n=k+1时，
左边
当且仅当x=1时等号成立，即当
时原式也成立 ????13分
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 综上当
4.（浙江省2010届第一次调研卷）已知函数
成立 ????14分
f(x)?(1?2a)x3?(9a?4)x2?(5?12a)x?4a(a?R).
(1) 当a = 0时, 求函数f(x)的单调递增区间;
(2) 若函数f(x)在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.
32
【解析】(1): 当a = 0时, f (x)＝x－4x＋5x ,
5>0,
f?(x)?3x?8x?5?3(x?1)(x?)32所以 f (x)的单调递增区间为(??,1], 5(2) 解: 一方面由题意, 得
[,??)3. ???????(6分)
?f(0)?2,??f(1)?2,?f(2)?2,?另一方面当
即
1;
0?a?21时,
0?a?2f (x) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x ,
3232
令g(a) = (－2x＋9x－12x＋4)a＋x－4x＋5x, 则
g(a) ≤ max{ g(0), g(1) }
2= max{x3－4x2＋5x , 1(－2x3＋9x2－12x＋4)＋x3－4x2＋5x }
2= max{x3－4x2＋5x , 1x2－x＋2 },
2f (x) = g(a)
322
≤ max{x－4x＋5x , 1x－x＋2 },
2又
max{x3－4x2＋5x}=2,
0?x?2max{1x2－x＋2}=2, 且f (2)＝2,
0?x?22所以当
1时, f (x)在区间[0,2]上的最大值是2.
0?a?2选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 综上, 所求 a的取值范围是
1. ???????(14分)
0?a?2
10（山东省实验中学）已知函数
f(x)?x2?ax?lnx， a?R.
（1）若函数f(x)在?1,2?上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g(x)?f(x)?x2，是否存在实数a，当x?(0,e]（e是自然常数）时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由； （3）当x?(0,e]时，证明： 522.
ex?2x?(x?1)lnx【解析】：（1）
在?1,2?上恒成立， 12x2?ax?1f(x)?2x?a???0xx' 令
h(x)?2x2?ax?1，有?h(1)?0 得?a??1……………………… 4分
???7,?h(2)?0a????2 得
7 …………………………………………………………………………… 5分
a??2（2）假设存在实数a，使g(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3，
1ax?1 ……………………………………………6分
g(x)?a??xx'① 当a?0时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)，
min?g(e)?ae?1?3②当
时，g(x)在上单调递增 11上单调递减，在10??e(0,)(,e]aaa， 4（舍去）
a?e?③当1g(x)min，a?e2，满足条件. 1?g()?1?lna?3amina?e时，g(x)在(0,e]上单调递减，g(x)?g(e)?ae?1?3，
， 4（舍去）
a?e综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e]时g(x)有最小值3. ……………………10分 （3）令F(x)?e2x?lnx，由（2）知，F(x)min?3.令
lnx5，'1?lnx，
?(x)???(x)?x2x2当0?x?e时，?'(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴?(x)max2 1515??(e)?????3e222lnx5 即225?(x?1)lnx.………14分
?ex?lnx??,ex?xx22
19.（福州三中2009—2010学年高三第一学期半期考）
已知a，b?R，函数f(x)?ln(x?1)?x2?ax?b的图象经过点A(0,2)． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点A处的切线与直线3x?y?1?0平行，求实数a的值； （Ⅱ）若函数f(x)在[1,??)上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令a??1，c?R，函数g(x)?c?2cx?x2．若对任意x?(?1,??)，总存在x?[?1,??)，使得
12f(x1)?g(x2)成立，求实数c的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
，x??1． 1f?(x)??2x?ax?1则在A点出的切线的斜率为f?(0)=1?a?3， 所以a?2．
??4分
（Ⅱ）函数f(x)在[1,??)上为减函数， 所以?0在[1,??)上恒成立， 1??2分
?2x?ax?1所以1在[1,??)上恒成立． ??6分
a?2x?x?1令． 1，则1g(x)?2x?g?(x)?2?x?1(x?1)2因为x?1，所以g?(x)?0， 所以g(x)在[1,??)为增函数， 所以所以
f?(x)?g(x)min17， ?g(1)?2??447． a?4经检验，a的取值范围是
??9分 7．
(??,]4（Ⅲ）若对任意x?(?1,??)，总存在x?[?1,??)，使得f(x)?g(x)成立，则函数f(x)在(?1,??)上的值
1212域是函数g(x)在[?1,??)上的值域的子集．
对于函数f(x)，因为a??1，所以f(x)?ln(x?1)?x2?x?b，
又因为过点A(0,2)，所以b?2，
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