《微积分》（中国商业出版社 经管类）课后习题答案六

《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案

习 题 六 （A）

1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）（3）

?2?0cosxdx?0 （2）

?2?21(x2?1)dx?22xdx?41?(x022?1)dx

?1?1x3dx?0 （3）

??1?xdx

0 解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在(?2 , 2 )范围内对称，所以是正确的．

（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式?2?1?1xdx

等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在(?1 , 1)范围内关于轴对称，所以等式两边相等．

2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）（2）

解：（1）由定积分的比较性可知在(0 , 1)范围内x2?x3，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在(1 , 3)范围内x2?x3，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在(3 , 4)范围内lnx?(lnx)2，所以前者小于后者．a?1 （4）由定积分的比较性可知在(0 , ）范围sinx?x，所以前者小于后者．

3．用定积分性质估计下列积分值 （1）

解：（1）因为e?x在[0 , 1]范围内的最大值为1，最小值为e?1 所以由定积分的估值定理可知：

2??104x2dx与

?10x3dx （2）

42?31x2dx与

?xdx

313?2?3lnxdx与

?(lnx)dx （4）?3sinxdx与

0?2xdx

0?2?e01-x2dx （2）??5?4(1?sinx)dx （3）

24?1x51?x?0dx （4）

?20sinxdx x?10e?1dx??110e?xdx?22?ldx

01?e?1??0e?xdx?1

（2）因为1?sin2x在[ , 4?5?4]2的最大值为2，最小值为1。 2所以由定积分的估值定理可知：

??5?4ldx??5?44?5?4(1?sin2x)dx??4?5?42dx

4 ?????(1?sin2x)dx?2? x51?x4（3）设f(x)?5x4

x51?x?则f ' (x)?令f ' (x)?0

421?x?x(10?9x) 1?x21?x(1?x)则x4(10?9x)?0 , 1?x?0 解得：x?0 ,x??10 9所以f(x)在(0 , ??)上单调递增

所以f(x)在[0 , 1]的最小值为0，最大值是所以由定积分的估值定理可知：

2 2?

100dx??1x51?xx51?x0dx??102dx 2?0??10dx?2 2（4）由图中易知：AB???ADAB

其中AB?sinx，AD?tanx，AC?x 即：sinx?x?tanx 亦得到：1?x1? sinxcosx0?x??2，从中cosx?sinx?1 x?由定积分性质有：

???20cosxdx???20sinxdx?x?201?dx

?1??2?sinx?dx? x2

y

1

A 4．利用定积分的几何意义计算下列积分

22x 2(1?2x?x2)dx （1）（2）2?xdx x 1?0 2B C D

??

解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x轴的

上方．

所以原式??R2

??12

12（2）该定积分的几何意义是以(1 , 1)为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴的上

方．所以原式??R2 ?? 5．求下列函数的导数 （1）f(x)12?x2te?t2?1dt （2）f(x)?t2?exxxln(1?t2)dt

3（3）f(x)?

??x3xedt （4）f(x)??(t0?x3)sintdt

解：（1）设te?tdt?g(t)

x2?g(x2)?g(?1)令x2?m ?1442则f(x)?g(e)f ' (x)?g '(m) m ' ?x2e?x2x?2x3e?x

（2）设ln(1?t2)dt?g(t) 则f(x)?g(ex)?g(x)令ex?m

f ' (x)? g ' (m)m ' ?g ' (x)?exln(x?e2x)?ln(x?x2)

?（3）设?et2dt?g(t)

则f(x)?g(x3)?g(x)令x3?m , x?n

f ' (x)?g ' (m)m ' ?g ' (n)n ' ?ex63x2?ex12x

（4）设?(t3?x3)sint?g(t) 则f(x)?g(x)?g(0)

f ' (x)?g ' (x)?g ' (0)?0

6．求下列极限 （1）lim1x?0x3?x0sint2dt （3）

xlim12?0x3?x0(1?t2?1?t)dt（5）lim1x1tx?0x?(1?sin2)tdt 01（7）lim??xet2dt?x2 x???????0??x?e?t2dt（9）xlim?x0?0x?sinx?arctanx

解：（1）?xxlim1?0x3?0t2dt ?xlim1?0x3?13t3dt ?13 （2） ?1xxlim?0x2?0tdt ?xlim1?0x2 12x2x0

?12 （3）?1xlim?0x3?x0(1?tan2t?1?sin2t)dt ?lim1x?0x3?x0(1cosx?cosx)dt 2）xlim1?0x2?x0arctantdt 4）1?x2?1xlim?0?x

0ln(1?t)dtxlntd6）lim?11?ttx?1(x?1)2 8）xlim1???x?xt20(t?)et2?x2dt（ （（（