第2课时 基本不等式
学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．
知识点 基本不等式
思考 回顾a＋b≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件． 答案 a＋b－2ab＝(a－b)≥0，即a＋b≥2ab， 当且仅当a＝b时，a＋b＝2ab. 梳理 (1)重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)基本不等式
a＋b①定理2：如果a，b＞0，那么≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立 .
2②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值； (ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.
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类型一 不等式的证明
例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111
求证：＋＋≥9.
abc
证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋
aabbcc
?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋? ?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
∴＋＋≥9. abc
方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111?111?∴＋＋＝(a＋b＋c)?＋＋? abc?abc?bcacab＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
aabbcc
?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋? ?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
∴＋＋≥9. abc引申探究
abc
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.
bca证明 ∵a＋b≥2ab， a
∴≥2a－b. b
bc
同理，≥2b－c，≥2c－a.
caabc
∴＋＋ bca
≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1， abc
∴＋＋≥1. bca
2．若本例条件不变，求证：a＋b＋b＋c＋c＋a≥2. 证明 ∵a＋b≥2ab，∴2(a＋b)≥(a＋b). 又a，b，c∈R＋， ∴a＋b≥2
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|a＋b|＝(a＋b)． 22
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同理，b＋c≥三式相加，得
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(b＋c)，c＋a≥(a＋c)． 22
a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)＝2， 当且仅当a＝b＝c时取等号．
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明． 跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；
222222
?1??1?(2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：?1＋??1＋?≥9.
?a??b?
证明 (1)∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2abcd，ac＋bd≥2acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号．
?1??1?(2)?1＋??1＋? ?a??b??a＋b??1＋a＋b? ＝?1＋?a?b??????b??a?＝?2＋??2＋? ?a??b?
1?ba?＝4＋2?＋?＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号． 2?ab?
?1??1?∴?1＋??1＋?≥9.
?a??b?
类型二 利用基本不等式求最值
12
例2 (1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；
xy12
(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．
x
12?12?4xy?12?解 (1)＋＝?＋?×1＝?＋?(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2xy?xy?yx?xy?11
，y＝时，等号成立， 4212
∴＋的最小值是8. xy
12?12?(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－?＋3?－x??≤－236＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，x?－x?等号成立，∴f(x)的最大值是－12.
反思与感悟 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值． (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．
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跟踪训练2 若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
abA.2B．2C．22D．4 答案 C
12
解析 因为＋＝ab，所以a＞0，b＞0，
ab12
因为ab＝＋≥2
ab
12×＝2ab
2， ab
4xy4xy
·＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝yxyx
所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为22. 类型三 利用基本不等式解决实际应用问题
例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生
产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数； (2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解 (1)由题意可设3－x＝
k
(k≠0)， t＋1
2
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
t＋1当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， 2??∴年生产成本为32x＋3＝32?3－?＋3. ?t＋1?当销售x(万件)时，
2??1??年销售收入为150%?32?3－?＋3?＋t. ??t＋1??2由题意，生产x万件化妆品正好销售完， 由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用， －t＋98t＋35
得年利润y＝(t≥0)．
2?t＋1?
2
－t＋98t＋35?t＋1＋32? (2)y＝＝50－?t＋1?2?t＋1??2?
2
≤50－2 t＋132
×＝50－216＝42， 2t＋1
t＋132
当且仅当＝，
2t＋1
即当t＝7时，等号成立，ymax＝42， ∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．
反思与感悟 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约． 跟踪训练3 围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元)．
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