A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（0，+∞）
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
解答： 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n）， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10， 即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1， 由双曲线的定义可得m﹣n=2a2， 即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10， 可得c＞，即有＜c＜5． 由离心率公式可得e1?e2=
=
=
，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1?e2 的取值范围为（，+∞）．
故选：A．
点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题（共4小题，满分20分）
13．若（1+ax）（a≠0）的展开式中x与x的系数相等，则a=3．
考点：二项式定理的应用． 专题：计算题；二项式定理．
56
分析：先写出展开式的通项，再利用x与x的系数相等，建立方程，即可求得a的值．
756
解答： 解：展开式的通项为Tr+1=∵x与x的系数相等，∴
5
6
解得a=3， 故答案为：3．
点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．设函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，则实数a=﹣1．
x
﹣x
考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用．
分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可
解答： 解：因为函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，
﹣xx
所以g（x）=e+ae为奇函数 由g（0）=0，得a=﹣1． 故答案是﹣1
点评：考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法．
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2则c=．
考点：正弦定理． 专题：解三角形．
x﹣x
sinA，b=，a=3c，
分析：a=2sinA，b=，由正弦定理可得：
2
2
2
=2，可得，
解得B．再由a=3c及其余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB，解出即可． 解答： 解：∵a=2sinA，b=， 由正弦定理可得：∴
，
．
2
2
2
=2，
∵B为锐角，∴B=
由余弦定理可得：b=a+c﹣2accosB， ∴21=9c+c﹣
22
2
，
化为c=3， 解得c=． 故答案为：．
点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上一动点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率k2，且k1?k2=﹣1，过P作l的垂线，垂足为Q，则△APQ面积的最大值为
．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆． 分析：由已知可得P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，进而可得△APQ面积的最大值．
解答： 解：∵直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率k2，且k1?k2=﹣1， ∴PA⊥PB，故P为以AB为直径的圆上，除AB外的任意点，
由点A（﹣1，0），B（1，0），
可得以AB为直径的圆为x+y=1， 设P点坐标为（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z， 则Q点的坐标为（﹣1，sinx）， 不妨令P点在第一，二象限，
则△APQ中|PQ|=cosx+1，PQ边上的高为sinx，
故△APQ面积S=sinx（cosx+1）=（sinxcosx+sinx）=sin2x+sinx， ∴S′=（cos2x+cosx）=（2cosx+cosx﹣1）， 令S′=0，则cosx=，或cosx=﹣1（舍去）， 此时x=
， S取最大值sin
+sin
=
，
22
2
故答案为：
点评：本题考查的知识点是直线垂直的充要条件，三角函数的最值问题，是三角函数与直线和圆的综合应用，难度中档．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记Tn为数列
的前n项和，是否存在正整数n，使得Tn＜
？若存在，
求n的最大值；若不存在，说明理由．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式．
（Ⅱ）利用an=1时，Tn=n≥1，此时不存在正整数n，使得用裂项法求出Tn，通过
；当an=2n﹣1时，利
，解得n＜1007．得到n的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，
22
所以（2+d）=4+6d，即d﹣2d=0，所以d=0或d=2． 因此，当d=0时，an=1；当d=2时，an=2n﹣1．… （Ⅱ）当an=1时，Tn=n≥1，此时不存在正整数n，使得当an=2n﹣1时，=
；
=由
，得
．
，解得n＜1007．
故n的最大值为1006．…
点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
18．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] 若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：
S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200
元且不超过600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K≥k0） 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k0 2
2k=
供暖季 非供暖季 合计 非重度污染 22 63 85 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100
考点：独立性检验的应用． 专题：计算题；概率与统计． 分析：（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；
（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论． 解答： 解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…
由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…
∴P（A）=…．
（2）根据以上数据得到如表：
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