第1章 单自由度系统的自由振动题解

习 题

1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg?k?

其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3?=? 24EJ 则 k=

题1-1图

24EJ h3 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 mx??kx 所以固有频率pn?

1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

?

mg

\24EJ 3mh?

h

?2Fsin?

?

题1-2图

解：给杆一个微转角?

a?＝h? 22Fcos?＝mg

由动量矩定理：

???MI?1I??ml212aa2M??Fasin??cos??mg???mga228h

? 1

其中

??? sincos?1

2?1a22??ml??mg???0124h 23ga2pn?2lh2πl2h2πlT??2π?pna3ga2

1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不计。

h 3g解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为

k1??k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4k1k2kk??k3?12，k?，k2

k1?k2k1?k2k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4p2?k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4

m(k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4)题1-3图

1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2和J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。

解：

k1?GJ1/l1 （1） k2?GJ2/l2 （2）

k3?GJ3/l3 （3）

题1-4图

k23?GJ2J3/(J2l3?J3l2) （4）

Pn2?(k1?k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2?G(J1J2l3?J3J1l2?J2J3l1)/Il1(J2l3?J3l2)

2

1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

题1-5图

解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x，设系统的振动方程为：x?Asin(wt?a)

则系统运动过程中速度表达式为：x??Awcos(wt?a) 系统最大位移和速度分别为：

xmax?Ax?

max?Ax系统在运动过程中，动能表达式为：

122T?2m1x?2?12m1?1??x??1?x??2x?2?2??2m22r????r???2I??R? 2?弹性势能为：

1?x?2U?12k21??R1R??2k2x

2?22系统最大动能为：T?12121?12??Aw?1?Aw?max2m1(Aw)?2m2(Aw)?2??2m2r????r???2I??R? 2?1?2最大弹性势能为：Umax?kA???11?R1k22?R2A 2?2由于系统机械能守恒，因此：

Tmax?Umax

111222?2mAw)2?2m?1??Aw?1?Aw?1?A?121(2(Aw)2?2??2m22r????r???2I??R??k1?R1??k2A 2?2?R2?2由上式可解得系统的固有频率为：

3

R1?k2R2 w??3I?m?m??122?2R?2?k11-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的?角为广义坐标，系统作简

谐运动，其运动方程为???sin(pnt??)。?很小，系统的动能为

T?111?2?m1(a??)2?m2(l??)2 IO?222???pncos(pnt??) ?所以， Tmax?11122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl 222题1-6图

取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为?1,?2,?3，由

?mV?O(F)?0， k1?1a?m1ga?k3?3b?k2?2l?0 （A）

由题意可知，系统势能为

111k1[(?a??1)2??12]?k3[(?b??3)2??32]?k2[(?l??2)2??22]?m1g?a（B） 222111k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 222将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

Vmax?由， Tmax?Vma x得

11111122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl?k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 2222222nk1a2?k3b2?k2l2所以，有p? 22IO?m1a?m2l

1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 解：振动衰减曲线得包络方程为：X?Ae?nt

振动20个循环后，振幅比为：

0.64?e20nTd 0.164