3=148.5元． 所以甲商家的日平均返利额为：60+29.5×
由①得乙商家的日平均返利额为152.8元（＞148.5元）， 所以推荐该超市选择乙商家长期销售． 19. 如图，三棱柱（1）过
的各棱长均相等，
底面
，E，F分别为棱
的中点．
作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线
的余弦值．
.
交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；
（2）求二面角
【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由直线四边形
是平行四边形，则
平面，利用线面平行的判定定理可得直线
，即点为
直线，又直线，可得
的中点；（2）取的中点，由于
两两互相垂直，所以可以
与平面
为轴建立如空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.
试题解析：（1）如图所示，平面FHA1即为平面α，H点为线段BB1的中点． 理由如下：
因为直线BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直线BE?平面AB1， 所以直线BE//直线A1H，又A1E//直线BH， 所以四边形BEA1H是平行四边形，则BH= A1E即H点为BB1的中点．
，
（2）如图，取B1C1的中点Q，显然FC，FQ，FA两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz如图所示． 不妨设棱长为2，则H（-1，1，0），A1（0，2，）， 则
，
， ， ．
，
设面FHA1的法向量则由令
，得
得
取平面BFH的一个法向量
于是所以二面角
．
的余弦值为
．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知
为椭圆E：
的左、右顶点，
，E的两个焦点与E的短轴两个端点所构
成的四边形是正方形． （1）求椭圆E的方程； （2）设动点大值． 【答案】（1）
；（2）
. 得
，由的两个焦点与的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．可
的方程为，从而
，直线
的方
（
），记直线
与E的交点（不同于
）到x轴的距离分别为
，求
的最
【解析】试题分析：（1））由得程为
，又
，解得
，从而可得椭圆的方程；（2）设直线
，
，将两直线方程分别与椭圆方程联立，求得
试题解析：（1）由
，利用基本不等式可得结果.
得
，则
．
因为E的两个焦点与E的短轴两个端点所构成的四边形是正方形． 所以
，又
，解得． 的方程为
，直线
的方程为
，
，
故椭圆E的方程为（2）不妨设设
．直线
，
由得，可得．
又由得，可得．
则 ．
因为，当且仅当取等号，则，
即
21. 已知函数（1）当
．当且仅当取等号． （其中
）．
时，求零点的个数k的值；
，求证：
．
（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得当x＞时，
为减函数，所以
，判断出
、
、；
，为增函数；当时， ，
的符号，结合函数图象，利用零点定理可得结
果；（2）由（1）知的两个零点为，不妨设，可得，进而，
，只需利用导数证明
试题解析：（1）由题x＞0，由
得
， ，
为增函数；当0 ，所以 ， ，又 所以当 时， 零点的个数为2． ，不妨设 ， 且 ， ， ，则 即可得结论. ， 当x＞时，所以因为而 为减函数， （2）由（1）知于是 的两个零点为 ， 两式相减得（*）， 令， 则将所以下面证明即证明则所以故于是所以有所以 代入（*）得，进而， ， ，其中，设 ，令 ， ， ，则为 为，即 增函数， 减函数， ． ，得 ， ， 为增函数，即 ，故 ，从而，得证． ．而由 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）过点 且与直线平行的直线交于，两点，求 . ；（2） . 将曲线C的 【答案】（1）直线l的普通方程为；的直角坐标方程为 【解析】试题分析：（1）先根据加减消元得直线l的普通方程，再根据 极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线参数方程标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得 ，最后利用韦达定理代入求值. 试题解析：（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为．
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