R(A)?R(?A)?2,将x3,x4取作自由未知量。由原方程组的同解方程组?x1?2?x3?x4?x?1?3x?23 ??x3?x3??x4?x3因而
得通解为?2??1???1???????130 x=???k1???k2??,其中k1,k2为任意常数.?0??1??0???????00?????1?以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即：先判断方程组是否有
解，在根据定理一判断对应齐次线性方程组的解空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解即可求出对应非其次线性方程组的通解。
七．判断向量组的线性相关性
线性相关的定义如下：
设a1,a2,?,am为n维向量，若存在一组不全为零的k1,k2,?,km,使
k1a1?k2a2???kmam?0
则称向量组a1,a2,?,am线性相关；否则a1,a2,?,am线性无关。
线性表示的定义如下： 设有两个向量组
T1：a1,a2,?,am; T2：b1,b2,?,bm;
若向量组T1的每一个向量都可由向量组T2线性表示，则称向量组T1可由向量组T2线性表示。又若向量组T1与向量组T2可以相互线性表示，则称向量组T1与向量组T2等价。
向量组的线性相关有如下的性质：
1） 如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性相关。 2） 当m>n时，m个n维向量组成的向量组a1,a2,?,am一定线性相关。 3） 设有两个向量组：
T1:?j?(a1j,a2j,?,arj)T(j?1,2,?,m)T2:?j?(a1j,a2j,?,arj,ar?1,j,?,anj)(j?1,2,?,m)T
若向量组T1线性无关，则向量组T2也线性无关；反之，若向量组T2线性相关，则向量组T1也线性相关。
判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个：
1） 向量组a1,a2,?,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（a1,a2,?,am)的秩小于向
量的个数m；向量组线性无关的充要条件是R（A）=m。
结合矩阵，上定理有如下两个推论：
（1） m个m维向量组a1,a2,?,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=
（a1,a2,?,am）的行列式|A|=0；a1,a2,?,am线性无关的充要条件是|A|≠0；
（2） 设A为m*n矩阵，则
1. 矩阵A的列向量线性相关（无关）的充要条件是R（A）
m-1个向量表示。
3） 向量组a1,a2,?,am线性无关，而向量组a1,a2,?,am,b线性相关，则b可由
a1,a2,?,am线性表示，而且表示式是唯一的。
4） 若向量组T1：a1,a2,?,am可由向量组T2：b1,b2,?,bm线性表示，且m>n,则向量组线
性相关。
该定理有如下两个推论：
a1,a2,?,am可由向量组T2：b1,b2,?,bm线性表示，（1） 若向量组T1：且向量组T1：
a1,a2,?,am线性无关，则m<=n.
（2） 若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。
5） 矩阵A经过初等行变换化为B，则
（1） 矩阵A与B对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合关系； （2） 矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广泛，是作为基础存在的。其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组等。
八．求向量组的秩与极大无关组
向量组的T的一个部分组a1,a2,?,ar满足：
（1） a1,a2,?,ar线性无关；
（2） 向量组T的每一个向量都可由a1,a2,?,ar线性表示。
则称a1,a2,?,ar是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
关于向量组秩的定义：
向量组a1,a2,?,am的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作
R（a1,a2,?,am）
规定只含零向量的向量组的秩为0。
极大线性无关组具有的性质为：
极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩向量最多的向量组。 极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。
关于秩的性质有如下几条：
（1） 矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。
（2） 若向量组T1可由向量组T2表示，则向量组T1的秩不超过向量组T2的秩。
该性质有如下推论： 等价向量组的秩相等。
求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看作熟悉的矩阵求解。
向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组的特征量，可以解决很多向量组的问题。
九．求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）
对角矩阵的定义：
如果n阶方阵的主对角线以外的元全为零，即
?a1?0????? ??an??0则称它为对角矩阵，记作diag(a11,a22,?,ann).对角线上全为1的矩阵称为单位矩阵。
对角矩阵特征如下：
1. 对角矩阵都是对称矩阵；
2. 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；
3. 零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；
4. 对角矩阵diag(a11,a22,?,ann) 的行列式为a11,a22,?,ann的乘积。
对角矩阵的运算：
矩阵加法可用下式表示：
diag(a11,a22,?,ann)?diag(b11,b22,?,bnn)?diag(aaa?b11,a22?b22,?,ann?bnn)
矩阵乘法可用下式表示：
diag(a11,a22,?,ann)*diag(b11,b22,?,bnn)?diag(aaa*b11,a22*b22,?,ann*bnn)
求对角矩阵的逆表示如下：
a11,a22,?,ann 均不为零，若上述条件成立，则 diag(a11,a22,?,ann)?1?diag(a11?1,a22?1,?,ann?1).
求对角矩阵的n次方计算也十分简便，有定义有下面公式：
diag(a11,a22,?,ann)r?diag(a11r,a22r,?,annr)
对角矩阵的计算十分简单，因此运用也十分的广泛，实际中遇到问题应尽量转化为对角矩阵进行求解，可节省较多的计算工作。
下面的问题就是如何将一个矩阵对角化以便利用对角矩阵相应的性质简化计算。所用到的工具有特征值和相似矩阵相关性质。
先讨论方阵的特征值的概念：
设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x使
Ax=λx
则称数λ为矩阵A的一个特征值，非零列向量x称为矩阵A的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。
求解方法就是利用特征多项式|λE-A|令值为零得到对应的特征方程求解。然后将对应的值代入方程|λE-A|x=0求出特征值对应的特征向量。线性组合每一个特征向量可得到全部特征向量。
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