矩阵的初等变换及其应用

矩阵的特征值有如下有关性质及推论： 定理1：

设n阶方阵A=（aij）的n个特征值为?1,?2,?,?n则有：

(1)?1,?2,?,?n?|A|;(2)?1??2????n?a11?a22???ann;

推论：

设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值。

定理2：

设λ是方阵A的一个特征值，x是A的对应的特征值λ的特征向量。则有： （1） 当A可逆时，（2） 当A可逆时，

1?是A?1的特征值；

是A的伴随矩阵A*的特征值；

|A|?（3） f(x)是x的一元多项式，则f(λ)是f(A)的一个特征值，并且x是对应矩阵

A?1,f(A),A*的特征向量。

定理3：

设?1,?2,?,?n是方阵A的n个互不相同的特征值，x1,x2,?,xn 依次为与之对应的特征向量，x1,x2,?,xn线性无关。

定理4：

把A的m个互不相同的特征值所对应的m组各自线性无关的特征向量并在一起任是线性无关的。

定理5：

特征值λ的代数重数（对应特征方程解的重数）不小于其几何重数（对应特征向量个数）。

再讨论相似矩阵： 相似矩阵概念：

设A,B为n阶矩阵，若存在n阶可逆方阵P，使

P?1AP?B

则称A相似于B，记作A~B。对A进行上述运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵。

相似矩阵有如下性质：

（1） 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

（2） 若n阶矩阵A ~ B，有：R(A)=R(B);|A|=|B|;tr(A)=tr(B);A ~ B;kA ~ kB,k

?1?1为任意常数;A ~ B，m为任意非负整数;若f(x)是任意多项式，则f(A) ~ f(B).

利用以上工具就可以讨论矩阵对角化的问题了。

下面是矩阵可对角化的定义：

如果n阶方阵A相似于对角矩阵Д,则称A可对角化。

判断对角化有如下定理及推论：

(1) n阶方阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。 (2) 如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则A必可对角化。

(3) n阶方阵可对角化的充要条件是A的每个r重特征值恰有r个线性无关的特征向量。

根据以上知识，判断一个矩阵是否可对角化就十分容易了。下面就是具体步骤： 首先求出一个方阵的特征向量和特征值，根据判断是否可对角化的充要条件判断是否可对角化，若可对角化，对应的B即为几个特征值为对角线上元素的对角矩阵，P为对应每个特征值得特征向量，这样就解出了对角化问题。

一个简单的例子利用性质求可对角化矩阵的n次方。 方法如下:

mmP?1AP?B,B为对角矩阵A?PBP?1An??????????PBP?1PBP?1?PBP?1?PBnP?1n个

由于B为对角阵，很简单就可求出A的n次方了。

利用矩阵可对角性质，可以大大简化很多计算，实际中应用十分广泛。

第三部分：我的总结

我对矩阵初等变换的理解

矩阵是线性代数最基本的概念，而初等变换在矩阵这个领域里面又是最重要的工具，因此我认为矩阵的初等变换的重要性是不言而喻的，在学习线性代数的过程中也是贯穿始末的。 书本第一章介绍了矩阵及其应用，求矩阵的逆这是离不开矩阵的初等变换的，在推导求逆矩阵的过程中，若没有初等变换就这种没有一般的求矩阵逆的方法，这是初等变换主要的作用之一。 第二章主要内容是行列式，是另外一个系统的内容，初等但是在求行列式或者证明相关行列式的性质过程中，或者直接将行列式化为对应矩阵通过初等变换求解，或者运用初等变换对应的思想将行列式的行列进行“初等变换”，以归纳行列式的相应性质。初等变换也没有在这一章中淡出去。 第三章是矩阵的秩与线性方程组，这一章内容是运用初等变换最多的地方，求矩阵的秩方法就是将矩阵初等行变换，写成行最简形，然后看非零行个数来判断矩阵的秩，可以说解决求矩阵的秩核心方法就是将矩阵初等变换（求矩阵所对应的行列式的值也可以，但是在手算时一般不会采用，因为矩阵阶数高于四阶时手算就过于复杂）。判断线性方程组的解在这里就是判断对应系数矩阵或者增广矩阵的秩，落实到计算过程中还是运用了矩阵的初等变换，因此，初等变换也贯穿了整个章节。 第四章是向量空间，似乎又是一个不同的系统，但是仔细看完可以发现其核心思想不变。判断向量组的线性相关性就是判断向量组对应的矩阵所对应的齐次线性方程是否有非零解，进一步就是要判断其对应行列式是否为零或者秩是否小于阶数n，后者仍然要用到矩阵的初等行变换以求得非零行数在一步步转化判断最终结果。判断向量组的秩，就是判断极大无关组的向量个数，进一步可转化为判断对应齐次方程是否有非零解，这又回到第二章的问题上，还是可以通过初等变换解决问题。后面分析线性方程组解的结构问题，其中涉及判断对应解空间维数，这个要知道阶数和对应系数矩阵的秩，还是牵涉到矩阵的初等变换，最后求通解时一般用到的方法是先将系数矩阵化为行最简形然后确定自由量，最后写出线性无关的通解。 第五章在讨论相似矩阵时，其求特征向量中运用到了求方程基础解系的方法，这是和初等变换直接相关的部分，后面应用中也时有用到初等变换知识。 观察每一章都可以发现矩阵初等变换的影子，也印证了初等变换的重要性，在学习中可以以初等变换为一条主线来窜起相关知识点，个人认为能够熟练的运用初等变换加上对线性代数中相关性质定理的掌握，线性代数这门课程才算学好了。