全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

221. 如果实数m，n，x，y满足m?n?a，x?y?b，其中a，b为常数，那么mx+ny

22 的最大值为 答：[B]

a?bA. B.

2ab C.

a2?b2 D. 2a2?b2 2 解 由柯西不等式(mx?ny)2?(m2?n2)(x2?y2)?ab；或三角换元即可得到

mx?ny?ab，当m?n?a，x?y?b时，mx?ny?ab. 选B.

222. 设y?f(x)为指数函数y?a. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N?,?四点中，函数 y?f(x)与其反函数y?f?1x?11??24?(x)的图像的公共点只可能是点 答：[D]

A. P B. Q C. M D. N 解 取a?111?1??1?，把坐标代入检验，????，而???，∴公共点只可能是

2164?16??16?1214 点N. 选D.

3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么x?y?z的值为 答：1 2 1

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

53

解 第一、二行后两个数分别为，3与，；第三、四、五列中的x?0.5，y?，z?，

1616[A]

则x?y?z?1. 选A.

4. 如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别是?A2B2C2的三个内角的正弦值，那么

答：[B]

A. ?A1B1C1与?A2B2C2都是锐角三角形

B. ?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

C. ?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D. ?A1B1C1与?A2B2C2都是钝角三角形

?A1B1C1的内角余弦都大于零， 解 两个三角形的内角不能有直角；所以是锐角三角形；

若?A2B2C2是锐角三角形，则不妨设

cosA1=sinA2=cos????????A1?， cosB1=sinB2=cos??A2?， ?2??2?cosC1=sinC2=cos?则 A1?????C1?. ?2??2?A2，B1??2?B2，C1??2?C2，

即 A1?B1?C1?3??(A2?B2?C2)，矛盾. 选B. 25. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a??，b??，且???”的 平面?，?

A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对

解 任作a的平面?，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作?的垂线. b与 垂线确定的平面?垂直于?. 选D. 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合A?xx??x??2和B?xx?2，其中符号?x?表示不大于x的最大整数，则

2答： [D]

???? A?B??1,3.

解 ∵x?2，?x?的值可取?2,?1,0,1.

当[x]=?2，则x?0无解； 当[x]=?1，则x?1，∴x=?1；

22当[x]=0，则x?2无解； 当[x]=1，则x?3，∴x?22??3.

所以x??1或3.

7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P? 分数）.

91(结果要求写成既约 21691?5? 解 考虑对立事件，P?1????.

6216??38. 已知点O在?ABC内部，OA?2OB?2OC?0.?ABC与?OCB的面积之比为5：1. 解 由图，?ABC与?OCB的底边相同，

高是5：1. 故面积比是5：1.

229. 与圆x?y?4x?0外切，且与y轴相切的动圆圆心BAOC的轨迹方程为y2?8x(x?0)或 y?0(x?0).

解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x??2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y?8x(x?0)，或y?0(x?0).

2a2?b210. 在?ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 . 2c解 切割化弦，已知等式即

sinAsinBsinAsinCsinBsinC， ??cosAcosBcosAcosCcosBcosC 亦即

sinAsinBcosCabcosCsinAsinBsin(A?B)，即=1，即??1. 22sinCcosCsinCca2?b2?c2a2?b2?1，故?3. 所以，

2c2c2三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）

11. 已知函数f(x)??2x?bx?c在x?1时有最大值1，0?m?n，并且x??m,n?时，

2?11?f(x)的取值范围为?,?. 试求m，n的值.

?nm? 解 由题 f(x)??2(x?1)?1， ……5分 ?f(x)?1，?21?1，即m?1，?f(x)在?m,n?上单调减， m2 ?f(m)??2(m?1)?1?112且f(n)??2(n?1)?1?. ……10分 mn2 ?m，n是方程f(x)??2(x?1)?1?1的两个解，方程即 x(x?1)(2x2?2x?1)=0，

解方程，得解为1，

1?31?3，.

221?3. ……15分 2 ?1?m?n，?m?1，n?x2y2??1上的两个动点，满足OA?OB?0。 12. A、B为双曲线49 （Ⅰ）求证：

1OA2?1为定值；

2OB （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足OP?AB?0，求证：点P在定圆上.

证 （Ⅰ）设点A的坐标为(rcos?,rsin?)，B的坐标为(r?cos??,r?sin??)，则

r?OA，

?cos2?sin2??r??OB，A在双曲线上，则r??4?9???1.

??21cos2?sin2?? 所以2?. ……5分 49r2222 由OA?OB?0得OA?OB，所以cos???sin?，cos??sin??.

1cos2??sin2??sin2?cos2???? 同理，2?， 4949r?所以1|OA|2?1|OB|2?11115????. ……10分 224936rr' （Ⅱ）由三角形面积公式，得OP?AB?OA?OB，所以

222222222? OP?AB?OA?OB，即OP???OA?OB??OA?OB.

????22?1?1?11??5? 即OP????OP???OP??????1. ?22?49??36??OAOB???2 于是，OP2?36.

5 即P在以O为圆心、

65为半径的定圆上. ……15分 513. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线

DC在平面N内. 已知?BDC??，?BDA??，?CDA??，且?，?，? 都是 锐角. 求二面角M?l?N的平面角的余弦值（用?，?，?的三角函数值表示）. 解 在平面M中，过A作DA的垂线，

交射线DB于B点；

ADNCBM在平面N中，过A作DA的垂线， 交射线DC于C点. 设DA=1，则

AB?tan?，DB?AC?tan?，DC?1， cos?1， ……5分 cos? 并且?BAC??就是二面角M?l?N平面角. ……10分

在?DBC与?ABC中，利用余弦定理，可得等式

BC2?11222??cos??tan??tan??2tan?tan?cos?， 22cos?cos?cos?cos?22所以，2tan?tan?cos??tan??tan??112??cos?

cos2?cos2?cos?cos?=

2(cos??cos?cos?)， ……15分

cos?cos?

……20分

故得到cos??cos??cos?cos?.

sin?sin?14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解（Ⅰ）不能. ……5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3

1?1?2?1?2?1=219·38不是立方数，故不能.

（Ⅱ）可以. ……15分 如右表

36 2 24

表中每行、每列及对角线的积都是23. ……20分 8 12 26·18

6

72 4