3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

沈丘县县直高中 高二数学◆选修1-1&2-2◆导学案 编写：秦新亮

§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P66~ P67，找出疑惑之处） 复习1：试判断下列复数1?4i,7?2i,6,i,?2?0i,7i,0?3i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.

复习2：求复数z?log22?3i的模

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：

设z1?a?bi,z2?c?di，是任意两个复数，那么。 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？

新知：对于任意z1,z2,z3?C，有 z1?z2?z2?z 1 (z1?z2)?z3?z1?(z2?z )3

探究任务二：复数加法的几何意义

问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

姓名------------- 班级----------- 文案编号3 ??????????????由平面向量的坐标运算，有OZ=OZ1?OZ2=（ ）

1

高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登

新知：

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

试试：计算

（1）(1?4i)+(7?2i)= （2）(7?2i)+(1?4i)= （3）[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)=

（4）(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]=

反思：复数的加法运算即是：

探究任务三：复数减法的几何意义

问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算. 新知：复数的减法法则为：

(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.

复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.

※ 典型例题

例1 计算 (5?6i)?(?2?i)?(3?4i)

变式：计算

（1）?8?4i??5（2）?5?4i??3i （3）

小结：

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.

例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，3?2i，?2?4i，试求：

????????（1）AO表示的复数；（2）CA表示的复数； （3）B点对应的复数.

2?3i3???2?9i???2?i

?2

高斯说：“宁可少些，但要好些” “二分之一个证明等于0”

变式： ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1?3i,?i,2?i，求点D对应的复数.

????小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：AB?zB?zA

※ 动手试试 练1. 计算：（1）(2?4i)?(3?4i)；（2）5?(3?2i)； （3）(?3?4i)?(2?i)?(1?5i)； （4）(2?i)?(2?3i)?4i

????????练2. 在复平面内，复数6?5i与?3?4i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，求向????????量AB，BA对应的复数.

三、总结提升

※ 学习小结

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.

※ 知识拓展

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. a?0是复数a?bi(a,b?R)为纯虚数的（ ）

3

高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

????????????2. 设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2?3i，?3?2i，那么向量BA对应的复数是（ ）

A．?5?5i B．?5?5i C．5?5i D．5?5i 23. 当?m?1时，复数m(3?i)?(2?i)在复平面内对应的点位于（ ）

3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. i?i2在复平面内表示的点在第 象限.

5. 已知z1?3?4i，点z2和点z1关于实轴对称，点z3和点z2关于虚轴对称，点z4和点z2关于原点对称，则z2= ；z3= ；z4= 课后作业 1. 计算：

（1）(6?5i)?(3?2i)；（2）5i?(2?2i)；

2213（3）(?i)?(1?i)?(?i)；

3324（4）(0.5?1.3i)?(1.2?0.7i)?(1?0.4i)

????2. 如图的向量OZ对应的复数是z，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）z?1；（2）z?i；（3）z?(2?i)

4