9．（上海模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝5，点E是BC延长线上一点，CE＝BC，连接BD．动点M从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD向D运动；动点N从E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB向B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t秒，过M作BD的垂线MP交BE于P． （1）当PN＝2时，求运动时间t；
（2）是否存在这样的t，使△MPN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△MPN与△BCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式和函数的定义域．
A D
M
B P C N E
解：（1）∵正方形ABCD，∴∠DBC＝45°
A D ∵MP⊥DB，∴△BMP是等腰直角三角形
∵BM＝2t，∴BP＝2BM＝2t 又PN＝2，NE＝2t
当0＜t＜时，BP＋PN＋NE＝BE ∴2t＋2＋2t＝10，∴t＝2
当＜t＜5时，BP－PN＋NE＝BE ∴2t－2＋2t＝10，∴t＝3 （2）过M作MH⊥BC于H
M Q
B A
H P C N D E
则△NQC∽△NMH，∴
QCMH
＝ CNHN
M
5t－2t 2QCt
∴＝，∴QC＝ 5－2t10－t－2t10－3t
5t－2t 2令QC＝y，则y＝ 10－3t
B A
N C P
D E
整理得2t 2－(3y＋5)t＋10y＝0
∵t为实数，∴[－(3y＋5)]2－4×2×10y≥0
5
即9y 2－50y＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤ 9
M B A
M P C N
D
E
5
∴线段QC长度的最大值为
9
（3）当0＜t＜时
∵∠MPN＝∠DBC＋∠BMP＝45°＋90°＝135° ∴∠MPN为钝角，∴MN＞MP，MN＞PN
若PM＝PN，则2t＝10－4t
5
解得t＝(4－2)
7
B N C P E
当＜t＜5时
∵∠MNP＞∠MBP＝∠MPB，∴MP＞MN 若MN＝PN，则∠PMN＝∠MPN＝45° ∴∠MNP＝90°，即MN⊥BP ∴BN＝NP，BP＝2BN
A
M D
∴2t＝2(10－2t)，解得t＝
10 3
若PM＝PN
∵PN＝BP－BN＝BP－(BE－NE)＝BP＋NE－BE
5
∴2t＝2t＋2t－10，解得t＝(4＋2)
7
B N C P E
5105
∴当t＝(4－2)，t＝，t＝(4＋2)时，△MPN为等腰三角形
737
8t 3－50t 2＋75t
（0＜t＜）
20－6t
（4）S＝
25
5t－（＜t＜5）
2
M Q B N B P C N E 10．（重庆模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，OB＝12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值； （2）求等边△PMN的边长（用含t的代数式表示）；
（3）设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
A P A A
E E E F F F
?
??
A D A M D
R
C P
M O N D B O
C C 解：（1）当点M与点O重合时
∵△ABC、△PMN是等边三角形，O为AC中点 ∴∠AOP＝30°，∠APO＝90° ∵OB＝12，∴AO＝43＝2AP＝23t 解得t＝2
D B O D B
备用图
C
备用图
A F P E D (N)
B
O (M)
C
∴当t＝2时，点M与点O重合
（2）由题设知∠ABM＝30°，AB＝83，AP＝3t ∴PB＝83－3t，PM＝PB·tan30°＝8－t 即等边△PMN的边长为8－t
A P F M
O
E N D
B
?23t63t43（1＜t≤2）?3
（3）S＝? t103（2＜t≤4）
2
?23t203t503（4＜t≤5）?0（5＜t≤8）
23t＋63（0≤t≤1）
－
2
＋＋
－
2
＋
C
2
－＋
提示：
①当0≤t≤1时，PM经过线段AF
设PM交AF于点J，PN交EF于点G，则重叠部分为直角梯形FONG
A P J F G M O E B ∵AP＝3t，∴AJ＝23t，JO＝43－23t MO＝4－2t，ON＝8－t－(4－2t)＝4＋t 作GH⊥ON于H
则GH＝FO＝23，HN＝2，FG＝OH＝4＋t－2＝2＋t 1
∴S＝S梯形FONG＝(FG＋ON)·FO
2
H N D
1
＝(2＋t＋4＋t)·23＝23t＋63 2
C A F I J M O
②当1＜t≤2时，PM经过线段FO
设PM交EF于点I，则重叠部分为五边形IJONG
P G E N D B FJ＝AJ－AF＝23t－23，FI＝2t－2
1
∴S＝S梯形FONG－S△FIJ＝23t＋63－(23t－23)(2t－2)
2
＝－23t 2＋63t＋43
③当2＜t≤4时，PN经过线段ED
设PN交ED于点K，则重叠部分为五边形IMDKG
C A F O M I P G E K D N B ∵AP＝3t，∴PE＝43－3t ∴IG＝GE＝4－t，EK＝43－3t
∴KD＝23－(43－3t)＝3t－23，DN＝t－2 ∴S＝S梯形IMNG－S△KDN
11
＝(4－t＋8－t)·23－(3t－23)(t－2) 22
＝－
32
t ＋103 2
C A F O E P R M D N B ④当4＜t≤5时，PM经过线段ED
设PM交ED于点R，则重叠部分为△RMD ∵AP＝3t，∴EP＝3t－43 ∴ER＝2EP＝23t－83
∴RD＝23－(23t－83)＝103－23t MD＝10－2t
C 1
∴S＝S△RMD＝(10－2t)(103－23t)
2
＝23t 2－203t＋503 ⑤当5＜t≤8时，S＝0
（4）∵MN＝BN＝PN＝8－t，∴MB＝16－2t ①若FM＝EM，则M为OD中点 ∴OM＝3
∵OM＋MB＝OB，∴3＋16－2t＝12 ∴t＝
A F O M
P E D N
B
A C
F O E P M D N B
②若FM＝FE＝6，则OM＝
62－(23)2＝26
∵OM＋MB＝OB，∴26＋16－2t＝12
∴t＝2＋6
③若EF＝EM＝6，点M在OD或DB上 则DM＝62－(23)2＝26 ∴DB＋DM＝MB或者DB－DM＝MB
∴6＋26＝16－2t或6－26＝16－2t C ∴t＝5－6或t＝5＋6
综上所述，当t＝、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF是等腰三角形
A A
P E E F F
P
O M D N B O D M N B
C C 11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所3425在直线的解析式分别为y＝x和y＝－x＋．
433
（1）求正方形OABC的边长；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ 5
（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点B落在x轴上时停止下滑．设
3
正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
y B
C
A O x
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