极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、伸缩变换：点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?x????x,(??0),的作用下，点P(x,y)对应到点P?(x?,y?)，称伸缩变换 ?:??y????y,(??0).一、 1、极坐标定义：M是平面上一点，?表示OM的长度，?是?MOx，则有序实数实
数对(?,?),?叫极径，?叫极角；一般地，??[0,2?)，??0。，点P的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)
???x?x??cos??2、直角坐标?极坐标 ?2、极坐标?直角坐标??tan???y??sin??22?y2y (x?0)x
3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方
程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0
二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数??x?f(t), 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确
?y?g(t),定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程
1、过定点（x0，y0），倾角为α的直线： x?x0?tcos?y?y0?tsin?（t为参数）
（1）其中参数t的几何意义：点P（x0，y0），点M对应的参数为t，则PM=|t| (2)直线上P1,P2对应的参数是t1,t2。|P1P2|＝|t1－t2|＝
1
t1＋t2
2
－4t1t2.
直线的一般参数方程： x?x0?aty?y0?bt（t为参数）若a2?b2?1，则上面（1）、（2）中
的几何意义成立，否则，不成立。
（2）圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：
x?x0?rcos?y?y0?rsin? （?为参数）
x2y2y2x2（3）椭圆2?2?1（或2?2?1）：
ababx?acos?x?bcos?（?为参数） （或 ）
y?bsin?y?asin?（4）抛物线y?2px
2：x?2pt2y?2pt（t为参数，p＞0）
题型归类：（1）极坐标与直角坐标的互相转化
（2） 参数方程与普通方程互化(3)
?利用参数方程求值域参数的几何意义
一、极坐标方程与直角方程的互化，求极坐标方程：方法：代公式
??1．已知某圆的极坐标方程为?2?42?cos(?4)?6?0
（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （II）
若点P(x,y)在该圆上，求x?y的最大值和最小值．6,2
2极坐标方程4??sin2?2?5表示的曲线是（ ） 抛物线
2??2?，则极点到该直线的距离是 ???24?2?3、直线的极坐标方程为?sin??4、极坐标方程?2cos????0转化成直角坐标方程为 x2?y2?0或x?1 二、参数方程与普通方程的互化
1、参数方程?普通方程：方法;消参, 普通方程?参数方程：代公式
t?t??x?2?25、方程?表示的曲线是（ ） （t为参数）t?t??y?2?22
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
1?x?1?t,??x?cos?,?2(t为参数), 曲线C1:?6. 已知直线?:? （?为参数）.
3?y?sin?,?y?t.?2?（Ⅰ）设?与C1相交于A,B两点,求|AB|；1 （Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
31倍,纵坐标压缩为原来的倍,得
226(2?1)到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线?的距离的最小值.4
??x??x?cos??7.曲线C：?曲线D：?(?为参数）?y?sin??y???2t?22。 (t为参数）2t2（1）指出曲线C、D分别是什么曲线？并说明曲线C与D公共点人的个数。 （2）若把曲线C、D上各点的纵坐标压缩为原来的
1倍，分别得到曲线C1、D1，请2写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C、D公共点是否相同？ 2、普通方程化为参数方程 8.直线l过点P(1,1)，倾斜角???6，（1）写出l的参数方程；
?x?2cos?（2）直线l与圆?相交于A、B两点，求|PA|g|PB|。 (?为参数）y?2sin??x2?y2?1上一点，求（1）S?x?y的范围； 9.点P(x,y)为椭圆3（2）若x?y?a?0垣成立，求a的范围。
3
题型三、利用参数方程求值域 10、在曲线C1：??x?1?cos?(?为参数）上求一点，使它到直线C2：
?y?sin?1?x??22?t??222(t为参数）距离最小，并求出该点坐标和最小距离。1 P（1-，-）?22?y?1?1t??23?x??t?2?5,（t为11、曲线C的极坐标方程是??2sin?，设直线L的参数方程是?4?y?t5?参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
x2?y2?2y?0
（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值
5?1题型四：直线参数方程中的参数的几何意义
12、已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???6，①写出直线l的参数方程;
22②设l与圆x?y?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.2
4?x?1?t???513、求直线?（t为参数）被曲线??2cos(??)所截的弦长.74?y??1?3t 5
?5?14直线??x?1?2t(t为参数)被圆x2?y2?9截得的弦长为 ?y?2?t?x?cos?（?为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为
?y?sin?15曲线C1的参数方程为?原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
l:?(cos??2sin?)?6.（1）求曲线C2和直线l的普通方程；（2）P为曲线C2上任
意一点，求点P到直线l的距离的最值.
4
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