2016年高考新课标乙卷全国理科数学试题（附答案）

?1.5x?0.5x?150?x?0.3y?90?线性约束条件为?，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分

?5x?3y?600??x?0,y?0所示，又由x?N，y?N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以zmax?2100?60?900?100?216000（元）．

(17)【解析】：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

2cosC?sin?cos??sin?cos???sinC，

即2cosCsin??????sinC． 故2sinCcosC?sinC． 可得cosC?1?，所以C?． 23（Ⅱ）由已知，又C?133． absinC?22?3，所以ab?6．

22由已知及余弦定理得，a?b?2abcosC?7．

22故a?b?13，从而?a?b??25．

2所以???C的周长为5?7．

（18）【解析】：（Ⅰ）由已知可得?F?DF，?F?F?，所以?F?平面?FDC．

又?F?平面???F，故平面???F?平面?FDC．

（Ⅱ）过D作DG??F，垂足为G，由（Ⅰ）知DG?平面???F．

以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz．

由（Ⅰ）知?DF?为二面角D??F??的平面角，故?DF??60，则DF?2，

DG?3，可得??1,4,0?，???3,4,0?，???3,0,0?，D0,0,3．

由已知，??//?F，所以??//平面?FDC． 又平面??CD平面?FDC?DC，故??//CD，CD//?F．

??由??//?F，可得???平面?FDC，所以?C?F为二面角C????F的平面角，

?C?F?60．从而可得C?2,0,3．

所以?C?1,0,3，????0,4,0?，?C??3,?4,3，?????4,0,0?． 设n??x,y,z?是平面?C?的法向量，则

?????????x?3z?0?n??C?0，即?， ????4y?0?n????0所以可取n?3,0,?3．

????m??C?0设m是平面??CD的法向量，则?，

??m????0同理可取m?0,3,4．则cosn,m???n?m219??． nm19故二面角???C??的余弦值为?219． 19

（19）【解析】：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零

件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X?16)?0.2?0.2?0.04； P(X?17)?2?0.2?0.4?0.16；

P(X?18)?2?0.2?0.2?0.4?0.4?0.24； P(X?19)?2?0.2?0.2?2?0.4?0.2?0.24； P(X?20)?2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.2； P(X?21)?2?0.2?0.2?0.08； P(X?22)?0.2?0.2?0.04.

所以X的分布列为

X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （Ⅱ）由（Ⅰ）知P(X?18)?0.44，P(X?19)?0.68，故n的最小值为19. （Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n?19时，

EY?19?200?0.68?(19?200?500)?0.2?(19?200?2?500)?0.08 ?(19?200?3?500)?0.04?4040.

当n?20时，

EY?20?200?0.88?(20?200?500)?0.08?(20?200?2?500)?0.04

?4080.

可知当n?19时所需费用的期望值小于n?20时所需费用的期望值，故应选n?19. （20）【解析】：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|，EB//AC，故?EBD??ACD??ADC，

所以|EB|?|ED|，故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.

又圆A的标准方程为(x?1)2?y2?16，从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4. 由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

x2y2??1（y?0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

?y?k(x?1)?由?x2y2得(4k2?3)x2?8k2x?4k2?12?0.

?1??3?48k24k2?12则x1?x2?，x1x2?. 224k?34k?312(k2?1)所以|MN|?1?k|x1?x2|?.

4k2?32过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y??12(x?1)，A到m的距离为，所以

2kk?14k2?3|PQ|?24?()?4.故四边形MPNQ的面积 22k?1k?1222S?11. |MN||PQ|?121?224k?3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

当l与x轴垂直时，其方程为x?1，|MN|?3，|PQ|?8，四边形MPNQ的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

（21）【解析】：（Ⅰ）f'(x)?(x?1)ex?2a(x?1)?(x?1)(ex?2a)．

（i）设a?0，则f(x)?(x?2)ex，f(x)只有一个零点．

（ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0． 所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． 又f(1)??e，f(2)?a，取b满足b?0且b?lna，则 2f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0， 22故f(x)存在两个零点．

（iii）设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)． 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0， 2