(五)解析几何
1.(2019·成都诊断)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B
解析 圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0， 化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1， 圆心坐标为C(－1，a)，半径为a2＋1. 如图，
由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直. 则
a－21
＝－，即a＝3.
2－1－1
2.(2019·毛坦厂中学联考)已知F1，F2两点是中心为原点的双曲线C的焦点，F1(0,5)，P是该双曲线上一点，||PF1|－|PF2||＝6，则该双曲线的渐近线为( ) A.3x±5y＝0 C.4x±3y＝0 答案 D
解析 由题意知，该双曲线焦点在y轴上， c＝5,2a＝6，即a＝3， ∴b＝c2－a2＝4，
3
则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
4
B.5x±3y＝0 D.3x±4y＝0
3.(2019·抚顺模拟)已知斜率为－1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为( ) A.x＝2 B.x＝1 C.x＝－2 D.x＝－1 答案 D
p
解析 由题意，直线AB：y＝－x＋并代入y2＝2px，
2并整理得：y2＋2py－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y1＋y2
则y1＋y2＝－2p，∴＝－p＝－2，解得p＝2.
2p
所以该抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
2
x2y21
4.(2019·南昌适应性测试)若椭圆Γ：2＋2＝1 (a>b>0)的离心率为，A，F分别为椭圆的左、
ab3右焦点，B 为右顶点，过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C，则cos∠ACB等于( ) 35327
A. B. C. D. 57725答案 D
1
解析 因为椭圆的离心率为，所以a＝3c，b＝22c，
3因为过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C， b8
c，±?，即C?c，±c?， 所以得点C?a?3???从而A(－c,0)，B(3c,0)， 在△ABC中，|AC|＝
1010
c，|BC|＝c，|AB|＝4c， 33
2
1002
×c×2－16c297
cos∠ACB＝＝.
100225×c×29
5.设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(5，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线S△BCF
的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )
S△ACF3456A. B. C. D. 4567答案 D
解析 设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为x＝my＋5. 由y2＝4x得p＝2，
p
因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，
2所以x2＝2，则y22＝4x2＝4×2＝8， 所以y2＝－22，
?y2＝4x，由?得y2－4my－45＝0， ?x＝my＋5，
由根与系数的关系，得y1y2＝－45， 所以y1＝10， 5
由y21＝4x1，得x1＝. 2
过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′(图略)， 过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′， 易知△CBB′∽△CAA′， S△BCF|BC||BB′|所以＝＝.
S△ACF|AC||AA′|
p57
又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，
222S△BCF36
所以＝＝.
S△ACF77
2
x2y2
6.(2019·凯里模拟)已知F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F
ab为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( ) 1313A. B. C. D. 3322答案 B
解析 延长AF交椭圆于点B，
设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′. 根据题意|AF|＝b2＋c2＝a，|AF|＝2|FB|， a所以|FB|＝，
2
3a
根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝.
2在△AFF′中，由余弦定理得
|F′A|2＋|FA|2－|F′F|22a2－4c2
cos∠F′AF＝＝，
2a22|F′A|·|FA|在△AF′B中，由余弦定理得
|F′A|2＋|AB|2－|BF′|21
cos∠F′AB＝＝，
32|F′A|·|AB|2a2－4c21
所以＝，解得a＝3c，
2a23c3
所以椭圆离心率为e＝＝.
a3
x2y2
7.(2019·凯里模拟)已知A为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点，P为双曲线右支上一点，
ab1
若点P关于双曲线中心O的对称点Q满足kAP× kAQ＝，则双曲线的离心率为( )
4A.5＋1 B.答案 B
解析 设P(x，y)，Q(－x，－y)，A(a,0)， 1
因为kAP× kAQ＝，
4
y－0－y－0y－0y－0y21所以·＝·＝22＝，
x－a－x－ax－ax＋ax－a4x2y2
因为2－2＝1，
ab所以
y2＝
b222
(x－a)， a2
5
C.5 D.5－1 2
b22
?x－a2?a21所以2＝， 24x－a
所以a＝2b，所以a2＝4b2＝4(c2－a2)， 所以5a2＝4c2，所以e＝
5
. 2
8.(2019·汉中质检)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则|AB|等于( ) A.12 B.14 C.16 D.28 答案 C
解析 抛物线y2＝8x，p＝4，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，如图：
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