第03节 简单的三角恒等变换
【考纲解读】
考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.和（差）角公式； 2.二倍角公式； 3.和差倍半的三角函数公式的综合①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、简单的三角恒等变换 正切二倍角的公 式. ②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 2015浙江文11,16；理11； 2016浙江文11；理10，16； 5.备考重点： 2017浙江14，18； (1) 掌握和差倍半的三角函数公2018浙江18. 式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧. 【知识清单】
1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； tan α＋tan β
T(α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan β； tan α－tan β
T(α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan β. 变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；
2014浙江文4,18；理4，应用. 18； 4.对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. .
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C2α：cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan α
T2α：tan 2α＝1－tan2α. 变形公式：
1＋cos 2α1－cos 2α2
cosα＝2，sinα＝2
2
2
2
2
2
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)1－sin 2α＝(sin α－cos α)
【重点难点突破】
考点1两角和与差的三角函数公式的应用
【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：记射线
，点
，
，
2,2
与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的
坐标为__________． 【答案】
，，C
【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有所以点坐标为
.
，且
【1-2】已知：则
=_______.
，，且，
【答案】
【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）
或
，求cosβ的值．
，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三
，最后根据
，利用
【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得角函数定义得
，再根据同角三角函数关系得
两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角的终边过点所以
.
得
，
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 【领悟技法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有
熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
π
提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋2(k∈Z)，即保证tan α，π
tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋2(k∈Z)，可利用诱导公式化简． 【触类旁通】
【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
故选D.
【变式二】已知均为锐角，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求
的值．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
∴
．
的值是
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