系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】
(1)如图1：连接OB、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC
∴△OBC是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D是BC的中点 ∴∠BOD=∵OA=OC
∴?OAC??OCA=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α
1?BOC?30? 2
(2)如图2：连接OB、OC、OD.
由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=∵OB=2，
∴OD=OB?cos30?=3 ∵B为AC的中点， ∴∠AOB=∠BOC=60° ∴∠AOD=90° 根据勾股定理得：AD=1?BOC?30? 2AO2?OD2?7
（3）①如图3.圆O与圆D相内切时： 连接OB、OC，过O点作OF⊥AE ∵BC是直径，D是BC的中点 ∴以BC为直径的圆的圆心为D点 由（2）可得：OD=3，圆D的半径为1 ∴AD=3?1 设AF=x
在Rt△AFO和Rt△DOF中，
OA2?AF2?OD2?DF2
即22?x2?3?解得：x??3?1?x
?233?1 433?1 2∴AE=2AF?
②如图4.圆O与圆D相外切时： 连接OB、OC，过O点作OF⊥AE
∵BC是直径，D是BC的中点 ∴以BC为直径的圆的圆心为D点 由（2）可得：OD=3，圆D的半径为1 ∴AD=3?1 在Rt△AFO和Rt△DOF中，
OA2?AF2?OD2?DF2
即22?x2?3?x?3?1 解得：x???233?1 433?1 2∴AE=2AF?
【点睛】
本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.
4．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.
（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？ （3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长. 【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3 【解析】
”“”或“
”）
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论； （2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可. （1）连接OD
∵DE为⊙O的切线 ∴∠ODE=90° ∴∠CDE+∠ADO=90° ∵AB=6，BC=8，AC=10 ∴∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90° ∵AO=DO ∴∠A=∠ADO ∴∠CDE=∠C
∴ED=EC； （2）连接OD
∵DE为⊙O的切线 ∴∠ODE=90° ∴∠CDE+∠ADO=90° ∵AB=6，BC=8，AC=10 ∴∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90° ∵AO=DO ∴∠A=∠ADO ∴∠CDE=∠C ∴ED=EC； （3）CE=3. 考点：圆的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
5．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若CD的延长线与圆相切于点F，已知直径AB=4．求阴影部分的面积.
O过点E．
【答案】（1）证明见解析；（2）??1 【解析】
试题分析：（1）先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；
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