课时作业58 圆锥曲线的综合问题
πx2y2
1．(2019·河北石家庄一模)倾斜角为4的直线经过椭圆a2＋b2＝1(a
→圆的离心率为( B )
3A.2 2C.2
2B．3 3D．3
→＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2 FB，则该椭
解析：由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得
22xy?2＋2＝1，
∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0， ?ab
?y＝x－c，
1
??
设A(x，y)，B(x，y)，则?－b
??yy＝a＋b，1
2
2
4
12
2
2
－2b2cy1＋y2＝22，
a＋b
→→－2b2c－y2＝22，
a＋b
4
22
2
2
又AF＝2 FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，
??
∴－y＝2y，可得?－b
??－2y＝a＋b，1
2
14c22
∴2＝22，∴e＝3，故选B.
a＋b
2．(2019·河北七校联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2
＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( D )
A．[2,3] C．[4,5]
B．[3,4] D．[5,6]
解析：由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2
＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.
设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，
2??y＝8x，由?得(x－2)2＋8x＝9， 22
???x－2?＋y＝9
整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，
因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D.
3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公π
共点，且∠F1PF2＝3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )
43A.3 C．3
23B．3 D．2
x2y2
解析：解法一：设椭圆方程为a2＋b2＝1(a1＞b1＞0)，离心率为e1，
11
x2y2
双曲线的方程为a2－b2＝1(a2＞0，b2＞0)，离心率为e2，它们的焦距为
22
2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，
???|PF1|＋|PF2|＝2a1，?|PF1|＝a1＋a2，
则易知?解得?
?|PF1|－|PF2|＝2a2，???|PF2|＝a1－a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1
－a2)cos 60°＝4c2，
22
整理得a21＋3a2＝4c，
a23a21312
所以c2＋c2＝4，即e2＋e2＝4.
12
?1?3?3?
设a＝?，?，b＝?1，?，
3??e1e2??
11
∴e＋e＝a·b≤|a|·|b|＝1213＋e2×e21211＋3＝4×4433＝3，故1143
e1＋e2的最大值是3，故选A.
解法二：不妨设P在第一象限， |PF1|＝m，|PF2|＝n. 在△PF1F2中，
由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.
设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则
m＋nm－n2＋211a1＋a2m
＝c. e1＋e2＝c＝c
?11?2m24m24
∴?e＋e?＝c2＝22＝n， ?12?m＋n－mn??2n
??－＋1
m?m??n?2n3
??易知m－m＋1的最小值为4. ???11?43??故e＋emax＝3.故选A. ?12?
4．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支
的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为( A )
A．22 C．4
解析：∵直线l与圆相切，
|m|
∴原点到直线的距离d＝＝1， 2
1＋k∴m2＝1＋k2.
??y＝kx＋m，由?22得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0， ?x－y＝1?
B．2 D．32
2
?Δ＝4mk＋4?1－k??m＋1??
∴?＝4?m＋1－k?＝8＞0，?xx＝1＋m＜0，?k－1
22
2
2
2
2
12
2
2
1－k2≠0，
2mk∴k＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝，
1－k22222
∴x2－x1＝?x1＋x2?－4x1x2＝＝，
|1－k2|1－k2
2
∵0≤k2＜1，∴当k2＝0时，x2－x1 取最小值22，故选A. 5．(2019·河南郑州一模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( A )
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