5．如图，在?ABCD中，对角线AC⊥BC，AC＝BC＝4cm．动点P从点A出发沿着A→B→C的路线运动，在AB边上的速度为
cm/s，在BC边上的速度
为1cm/s；动点Q从点C开始沿着C→A→D的路线以1cm/s的速度运动，当点Q移动到点D时，点P，点Q同时停止运动．在运动的过程中，过点P作BC的垂线，过点Q作AC的垂线，两条垂线相交于点M，以MP，MQ为邻边作矩形PMQN．点P、Q分别从点A、C同时出发，设点Q运动时间为x（s），矩形PMQN与四边形ABCD重叠部分的图形周长为y（cm）．（这里规定：线段的周长为该线段的长度的2倍）
（1）当矩形PMQN为正方形时，写出自变量x的取值范围． （2）求y关于x的函数解析式．
（3）当矩形PMQN与四边形ABCD重叠部分的图形面积最大时，直接写出自变量x的值．
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6．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α （0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程： 特例验证：
（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ． 猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠A+∠B＝120°，BC＝12CD＝6，DA＝6
，
，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满
足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存
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在，说明理由．
7．【感知】如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，连结MN，易证：MN＝（AB+BC+AC）（不需要证明）．
【探究】如图②，若BD、CE分别是△ABC的两个内角的平分线，且AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，连结MN．试猜想MN与边AB、AC和BC之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，射线BE平分AM⊥BE于点M，∠ABC，连结MD，延长BC至F，若∠DCF＝∠ACD＝75°，
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AB＝2，直接写出MD的长度．
8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．
（1）求证：△AOH≌△BOE； （2）求∠AGO的度数； （3）若∠OGC＝90°，BG＝
，求△OGC的面积．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．
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