yMPONx【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：d?r时相离；d?r时相切；d（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.
?r时相交；
x2y212设F，F分别为椭圆C:2?2ab的距离为23. 1
2
=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60°,F1到直线l
(Ⅰ)求椭圆C的焦距； (Ⅱ)如果AF2?2F2B，求椭圆C的方程.
【规范解答】
解：（I）设焦距为2c由已知可得F1到直线l的距离 2csin60。＝23，即3c?23,故c?2。 椭圆C的焦距为4。（II）设A(x1,y1),B(x2,y2) y1?0,y2?0 直线l的方程为：y?3(x?2)?y?3(x?2)? 联立?x2y2消去x得(3a2?b2)y2?43b2y?3b4?0?2?2?1b?a?3b2(2?2a)?3b2(2?2a)解得：y1?y2?223a?b3a2?b2????????因为AF2＝2F2B，所以?y1?2y2,3b2(2?2a)?3b2(2?2a)即：＝2?223a?b3a2?b2解得a?3,而a2?b2?4,所以b?5x2y2?椭圆C的方程为??195????????x2y213设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60,AF?2FB.
abo
(I) (II)
求椭圆C的离心率； 如果|AB|=
15，求椭圆C的方程. 4【规范解答】
9
设A(x1,y1),B(x2,y2) (y1?0 y2?0)(I)直线l的方程为 y?3(x?c),其中c?a2?b2?y?3(x?c)?联立?x2y2消去x得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1?,y2?,3a2?b23a2?b2????????因为AF?2FB,所以?y1?2y23b2(c?2a)?3b2(c?2a)即＝2?3a2?b23a2?b2c2得离心率e??a31243ab215(II)因为|AB|＝1+|y2-y1|,所以?2?。233a?b43c25515由?得b?a。所以a＝，得a?3,b?5。a3344x2y2所以椭圆C的方程为??195
14.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2 , 3），且点F（2 ，0）为其右焦点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
x2y2【规范解答】（I）依题意，可设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，且可知左焦点为F???2,0?，从而有
abc?2??a?4x2y22222??1； ，解得?，又a?b?c,?b?12，故椭圆的方程为??2a?AF?AF?3?5?81612c?2???x2y2??1?3?161222（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y?x?t，由?得3x?3tx?t?12?0，因为直线l与椭圆C有公共
2?y?3x?t??2点，所以???3t??4?3??t2?12??0，解得?43?t?43。另一方面，由直线OA与直线l的距离等于4可得
2t9?14??4,?t??213，由于?213????43,43?，所以符合题意的直线l不存在.
15.为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的
直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （I） 求考察区域边界曲线的方程： （II）
如图4所示，设线段PP，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行12 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
10
【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P的坐标为（x,y），则由|PA|+|PB|=10知，点P在以A,B为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。此时短半
轴长b?
52?42?3.
x2y2??1. 所以考察区域边界曲线（如图）的方程为
259 (2) 易知过点P,P的直线方程为4x?3y?47?0，因此点A到直线P1P2的距离为
|?16?47|31d??
2254?(?3)1
2
设经过n年，点A恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
0.2(2n?1)31?
2?15解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上。
16. （2010·湖南高考理科·Ｔ4）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过655km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过45km区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
【规范解答】（1）设边界曲线上点P的坐标为(x,y).当x≥2时，由题意知(x-4)+y=
点P在以A，B为焦点，长轴长为2a=4·5知，
2
2
36. 5当x<2时，由|PA|+|PB|=4·x2y2?1.5的椭圆上.此时短半轴长b=2.因而其方程为?204故考察区域边界曲线的方程为
36x2y2??1.(x<2). C：(x-4)+y=(x≥2)和C:
52042
2
1
2
(2)设过点P1，P2的直线为L1，过点P2，P3的直线为L2，则直线L1，L2的方程分别为 Y=
3x?14,y?6.1
x2y2??1.消去y, 设直线L平行于直线L，其方程为y?3x?m,代入椭圆方程2042得16x+103mx?5(m?4)?0.
2
由△=100×3m-4×16×5(m-4)=0,解得m=8,或m=-8.
可以得到，当m=8时，直线L与C2的公共点到直线L1的距离最近，此时直线L的方程为
22
y?3x?8,L与L1之间的距离为d?又直线L2到C1和C2的最短距离d’=6-
|14?8|1?3?3.
65,而d’>3，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3. 50.2(2n?1)?3,所以n?4.故冰川边界线移动到设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得
2?1考察区域所需的最短时间为4年.
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