重力、弹力，弹力方向向下或等受力特征 最 高 点 恰好过最高点 力学特征 于零 v2mg＋FN＝m rv2FN＝0，mg＝m，vmin＝gr，r即在最高点的速度v≥gr v2mg±FN＝m r竖直向上的FN＝mg，v＝0，在最高点速度可为0 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径①能过最高点时，v≥gr，FN＋速度和 弹力关 系讨论 分析 v2mg＝m，绳、轨道对球产生弹r力为FN ②不能过最高点时，v
考点四 万有引力与航天
1.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 【答案】C
【解析】设脉冲星质量为M，半径为R，密度为ρ，星体表面“赤道”处一物块质量为m，根据天体运动规律
B．5×1012 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
－11
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 N·m2/kg2。以周期T稳
2π?2GMmMM3π153
知：2≥m?R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×10 kg/m，故C正确。 2T??RV43GT
πR3
2.(2019·天津高考) 2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 C．角速度为 【答案】A
Mm【解析】探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G2＝r2π?2m??T?r，解得周期T＝ mrω2得，角速度ω＝
4π2r3Mmv21GMmMm
，A正确；由G2＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G2＝GMrr22rrGMMmGM，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。 r3r2r2
4π2r3 GMGm r3
GMm
B．动能为 2RGM
D．向心加速度为2 R
3. (2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 C．速率之和 【答案】BC
m1m2【解析】依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G2＝L
B．质量之和
D．各自的自转角速度
m1m22πm2
m1ω2r1，对m2：G2＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，
LTm1＋m2m14π2L32πL
r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v＋v＝ωr＋ωr＝ω(r＋r)＝，C正确；质量之积121212
GT2Tm1＋m2ωLr2ωLr1
m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
GGG2【增分攻略】
1.计算天体质量和密度的两条基本思路
Mm
1利用天体自身的半径R和表面的重力加速度g(天体自转可忽略)：由G2＝mg求出天体质量M，进○
RMM3g
而求得天体密度ρ＝＝＝。
V434πGR
πR3
2利用环绕天体的轨道半径○
22
22
?2πL?4
?T?
Mm4π24π2r3
r和周期T：由G2＝m2r，可得出M＝2；若环绕天体绕中心天体表
rTGT
M3π
面做匀速圆周运动，则轨道半径r＝R，ρ＝＝2。
43GTπR32.卫星的运行
Mmv24π2
2
万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据G2＝m＝mωr＝m2r ＝ma求出相应物
rrT理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a、v、ω、T均与卫星质量无关。
两种卫星的特点：(1)近地卫星 ：轨道半径＝地球半径 (2)同步卫星：①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。 3.卫星变轨前后轨道运行物理量的大小比较
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
1速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、 ○
vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
2加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度○
都相同，同理，经过B点时的加速度也相同。学，科，网
3周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由○
r3
开普勒第三定律2＝k可知T1＜T2＜T3。
T
4.双星及多星问题
1明确双星或多星的运行规律，根据几何关系找出运动半径。 ○
2对研究天体受力分析，找出向心力 ○
3抓住角速度、周期相同的特点。 ○
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