西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 学期：2020年春季 课程名称【编号】： 高等代数【0158】 A卷 考试类别:大作业 满分：100 分 一、给出下面两个概念的定义（共2小题，15分/小题，共30分） 1．数域P上多项式p(x)在P上不可约。 答：在数域P上，p(x)无法写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。 2．数域P上n维向量组?1,?2,L,?m线性相关。 ?11?11???后将第一行乘-1加到第二行得到?0?12?21?，之后将第二行乘上-1有 ?001?11????11?11??101?11?????01?22?101?22?1，之后将第二行乘-1加到第一行????，最后将?001?1?001?11?1??????10001?1? ??第三行乘上2加到第二行，乘上-1加到第一行?0100?12? ?001?11????01?1???因此A?1??0?12? ??101??? 答：若系数k1,k2,...,km满足公式k1?1?k2?2?...?km?m?0，且k1,k2,...,km不全为0，则称 四、（15分）求下面的齐次线性方程组的一个基础解系 n维向量组?1,?2,L,?m线性相关。 ?x1?x2?x5?0??x1?x2?x3?0。 ?x?x?x?0?34542二、（15分）设f(x)?x?2x?5，g(x)?x?x?2，求g(x)除f(x)的商式与余式。 ?11001??x1??0?答： ??????答：该方程组可以化为?11?100??x2???0? 2?00111??x??0?商式：x?x?1 ???3???余式：?5x?7 ?11?1??，求A?1。 210三、（15分）设A??????110?? 左边矩阵可以变形为： ?11001???00101??， ?00010???答： 使用初等行变换，可以得到 ?11?11??11?11?????A??2101? 之后将第一行乘-2加到第三行得到?0?12?21?，之?110?1101?1?????若设x1?k，x3?m那么就可以求得一个基础解系 x?k(1,?1,0,0,0)T?m(0,?1,?1,0,1)T其中k,m?R - 1 -
五、（15分）设V?P3，?1?(1,0,0),?2?(1,1,0),?3?(1,1,1)， 要证明W是V的子空间，即证明W对于矩阵数乘和矩阵加法运算封闭。 ?A,B?V，满足Tr(A)?0与Tr(B)?0，若证明Tr(A?B)?0，则说明对于矩阵加法运算?1?(0,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,1)， 求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。 答： 设过渡矩阵为C，则依题意有 (?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)C 封闭 由于 Tr(A?B)??(aii?bii)??aii??bii?Tr(A)?Tr(B)?0 i?1i?1i?1nnn得证 若证明Tr(kA)?0，则说明对于矩阵数乘封闭 可以写为 ?001??111?????011?011????C ?111??001?????Tr(kA)??kaii?k?aii?kTr(A)?0 i?1i?1nn得证 综上，由于W对于矩阵数乘和矩阵加法都满足，因此W是V的子空间。 这样的形式， 即 ?111??001?????C??011??011? ?001??111??????1 由于 ?111??1?10?????011?01?1???? ?001??001??????1因此过渡矩阵C即为 ?1?10??001??0?10???????C??01?1??011????100? ?001??111??111??????? 六、（10分）设V?Pn?n是数域P上全体n阶方阵关于矩阵加法及数与矩阵的数乘构成的线性空间，W??A?V|Tr(A)?0?。证明：W是V的子空间。 答： - 2 -
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