六年级奥数.行程.比例解行程问题(ABC级).教师版

比例解行程问题

知识框架

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时

s乙来表示，大体可分为以下两种情况： 间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就

等于他们的速度之比。

s?s甲?v甲?t甲s，这里因为时间相同，即t甲?t乙?t,所以由t甲?甲，t乙?乙 ?v甲v乙?s乙?v乙?t乙得到t?s甲v甲?svs乙，甲?甲，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之

比等于他们速度的反比。

?s甲?v甲?t甲，这里因为路程相同，即s甲?s乙?s，由s甲?v甲?t甲，s乙?v乙?t乙 ?s?v?t乙乙?乙得s?v甲?t甲?v乙?t乙，

v甲v乙?t乙，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比 t甲重难点

（1） 理解行程问题中的各种比例关系. （2） 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．

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例题精讲

【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车

才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，1试

【解析】 两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行

5驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的6可以知道，当乙车行驶150千米

5150??1256的时候，甲车实际只行驶了千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了

56180-125=55千米。

【答案】55千米

【巩固】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机

距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2006年，第4届，希望杯，6年级，1试

【解析】 可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米。

1列式为：X-3X=(12-X)×2 解得：X=9

13 9?30?60?18分钟，现在时间是11:03 【答案】11:03

【例 2】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地

方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是

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8千米，这时是几点几分？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

注意：小明第2个4千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点． 【答案】8点32分

【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46

追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，她调头后速度提高到原来的 2倍，根据路程一定，时间比

等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的．

【答案】7 点 25 分

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【例 3】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进

到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

【答案】260千米

【巩固】 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们

第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人

共同完成 3 个全长，一个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图可知，由 3 倍关系得到：A，B 两站的距离为 800×3－500=1900 米

【答案】1900 米

【例 4】 如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点

第一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.

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