三、解答题
17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（1）若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．
（2）q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．，设A＝{x|2＜x≤3}，B＝{x|a＜x＜3a}，则A?B，转化为集合关系．
【解答】解：由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0， 所以a＜x＜3a． 由满足
；
；
得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，．
（1）当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立． 设A＝{x|2＜x≤3}，B＝{x|a＜x＜3a}，则A?B， 则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．
18．已知Sn是首项为1的等比数列{an}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列， （1）求q3的值；
（2）若Tn＝|a1|+2|a4|+3|a7|+…+n|a3n﹣2|，求Tn． 【分析】（1）利用已知条件，列出方程求解q3的值；
（2）化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】解：（1）由题意，2S9＝S3+S6，
显然q≠1，…………………………………………………（1分） ∴
，………………………（3分）
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解得（2）∴
．………………………（4分）
，……………（5分）
，……………（6分） ……………（7分）
两式相减，得
＝……………（8分）
＝∴
，…………………（9分）
．………………………………………（10分）
【点评】本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， AB＝BC＝
，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，（I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数．（II）求出两平面的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值即可．
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【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， BB1⊥面ABC，∠ABC＝
．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系． 因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，
从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），
A1，C1
，D，
所以，
设
AF
＝
x
，
则
F
（
，
0
，
x
）
，
.
，所以．
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F． 由
＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）． 设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得
令z＝1得， 所以平面
B1CF
与平面
ABC所成的锐二面角的余弦值
．
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【点评】考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应． 20．数列{an}的前n项和Sn，a1＝，且an+2Sn﹣1?Sn＝0（n≥2）． （1）证明数列{
}为等差数列；
（2）数列{an}的通项公式；
（3）若bn＝2（1﹣n）an，（n≥2，n∈N*），求证：b2b3+b3b4+b4b5+…+bn+1bn+2
．
【分析】（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1的关系，利用构造法结合等差数列的定义进行证明即可． （2）结合数列{
}为等差数列，先求出数列{Sn}的通项公式即可．
（3）求出bn的表达式，以及bn+1bn+2的通项公式，利用裂项法进行求和证明即可． 【解答】解：（1）由an+2Sn﹣1?Sn＝0（n≥2）． 得Sn﹣Sn﹣1＝﹣2Sn﹣1?Sn，（n≥2）． ∴
﹣
＝2，（n≥2）， }为公差为2的等差数列．
}的首项为
＝2，公差d＝2，
故数列{
（2）由（1）知数列{则数列即Sn＝
＝2+2（n﹣1）＝2n， ，an＝Sn﹣Sn﹣1＝
＝﹣
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，n≥2，
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