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宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试
数学试题（A）参考答案及评分标准
（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．
（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．
（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．?3 14． 0或1 15．
128 16．②③ 3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)
解法一：（Ⅰ）∵直线AB的斜率kAB?3?(?m)??3, ………………………………1分
m?5∴m?3，∴A(3,3), ……………………………………………………3分 ∴直线AB的方程为y?3??3(x?3)
即3x?y?12?0.（或y??3x?12）…………………………………5分 （Ⅱ）设P(a,?a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,?3)
∴PA?(3?a,3?a)，PB?(5?a,?3?a)………………………………6分 又
?APB为直角
∴PA?PB?(3?a)(5?a)?(3?a)(?3?a)?0 …………………………8分 ∴a?1或a?3,……………………………………………………………9分 ∴P(1,?1)或P(3,?3). ………………………………………………10分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设P(a,?a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,?3)
①当a?3且a?5时，直线PA,PB的斜率存在，由已知得， kPA?kPB??a?3?a?3???1， ………………………7分 a?3a?5?a?1，P(1,?1) …………………………………………………8分
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②当a?3时，直线PA的斜率不存在，点P(3,?3)，此时?APB为直角 ③当a?5时直线PB的斜率不存在，点P(5,?5)，此时?APB不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,?1)或P(3,?3). ………………………………………10分
解法三：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
?APB为直角
?点P在以AB为直径的圆M上， …………………………………6分
又M(4,0)，|AB|?210 ?圆M的方程为(x?4)2?y2?10， …………………………………8分
?x?y?0?x?1,?x?3,由?得或 ??22y??1,y??3.(x?4)?y?10????P(1,?1)或P(3,?3)………………………………………………10分
18．(本题满分12分)
解法一：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系.
设AB?3a,AD?2b，则A(0,0),B(3a,0),D(0,2b),P(3a,b),Q(2a,2b)，…2分
yDQCPAOBx∴AB?(3a,0),AD?(0,2b),PQ?(?a,b), ………4分 又
PQ??AB??AD
∴(?a,b)?(3?a,2?b)
∴3???1,2??1 …………5分 111∴???????.……………………6分
326（Ⅱ）由已知得A(0,0),B(6,0) ………………………………………………7分
设Q(m,4)(0?m?6),则AQ?(m,4)，BQ?(m?6,4) ……………………8分
?AQ?BQ?m(m?6)?4?4?m2?6m?16?(m?3)2?7 …………………9分
又0?m?6?当m?0或6时，AQ?BQ取到最大值. ……………10分
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当m?0时，Q(0,4)，P(6,2)，所以|PQ|?(6?0)2?(2?4)2?210. ……11分 当m?6时，Q(6,4)，P(6,2)，所以|PQ|?2. ……12分
解法二：（Ⅰ）由题意得：
PQ?PC?CQ ………………………………………………………………2分
??11BC?CD………………………………………………………………3分 2311AD?(?AB) …………………………………………………………4分 23又PQ??AB??AD
11∴???,?? ……………………………………………………………5分
32???????1311? ……………………………………………………6分 26（Ⅱ）设DQ?kDC(0?k?1)，
则AQ?AD?DQ?AD?kDC?AD?kAB ………………………………7分 BQ?BC?CQ?AD?(k?1)AB………………………………………………8分
又矩形ABCD中，AB?DC,AD?BC,AB?AD?0
?AQ?BQ?(AD?kAB)?[AD?(k?1)AB]
?AD?k(k?1)AB?(2k?1)AB?AD
?|AD|2?k(k?1)|AB|2
22?36k2?36k?16 ………………………………9分
又0?k?1?当k?0或1时AQ?BQ取到最大值…………………………10分
当k?0时，DQ?0,所以PQ?210. ……………………………………11分 当k?1时，DQ?DC,所以PQ?2. ……………………………………12分
19．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）由题意得，A(272,) ………………………………………………1分 1010?tan??7 …………………………………………………………………3分
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sin2??sin?cos?tan2??tan? ?…………………………………………5分 ?sin?cos??6cos2?tan??672?7??56 …………………………………………6分 7?6344（Ⅱ）由题意得，B(,)，tan?? ……………………………………………7分
553tan??tan? ……………………………………………8分 ?tan(???)?1?tan??tan?43 ……………………………………………………9分 ?41?7?37???1 ………………………………………………………………10分
又
?,?是锐角 ?0??????, ……………………………………………11分
3? ……………………………………………………………………12分 4?????解法二：（Ⅰ）由题意得，A(?sin??cos??272,) ………………………………………………1分 101072, ………………………………………………………………2分 102， ………………………………………………………………… 3分 10(722722)??sin??sin?cos?1010?56 ……………………………6分 ?10 ?2sin?cos??6cos?7222??6()210101023443（Ⅱ）由题意得，B(,)，sin??,cos??………………………………………7分
5555?cos(???)?cos?cos??sin?sin? …………………………………………8分
?237242 …………………………………………10分 ?????1051052又?,?是锐角 ?0?????? ……………………………………………11分
3? ……………………………………………………………………12分 4?????20．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB，
P在Rt?DAB中，DB?(3)?1?2， …………1分
F22又E为BC中点，DC?2
DOABEC?DE?BC …………………………………………2分
PD?平面ABCD，BC?平面ABCD,
?PD?BC， ………………………………………3分
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