微 分 方 程
第一节 微分方程的基本概念 1.填空题
(1) 微分方程x2y'''?(y')4?y2?0的阶是 3 (2) 若y?(Ax?B)ex是微分方程y''?2y'?xex的一个特解，则
A??1 ，B? 0
2．写出下列问题所确定的微分方程
(1)已知曲线y?f(x)过点(1,1)，其上任意一点(x,y)处的切线的斜率为x2lnx，求f(x)满足的微分方程.
??y'?x?lnx?y(1)?1(2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到
坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.
y'?x2x2?y2?y(2000题531)
(3)设函数f(x)在[1,??)上连续，若由曲线y?f(x)，直线x?1，x?t（t?1）与x周所围平面图形绕x轴旋转一周所称的旋转体的体积为
v(t)??3[t2f(t)?1].求f(x)所满足的微分方程.
y'?3y2yx2?2x?0.（北大习题586）
第二节 可分离变量方程
1. 填空题
(1) 微分方程y'sinx?ylny满足初始条件yx???e的特解是
2xy?etan2或y?ecscx?cotx
(2) 微分方程 y'?ex?2y的通解为2ex?e?2y?C
(3) 微分方程y'?sin(2x?y)?sin(2x?y)的通解是
ln|cscy?coty|?sin2x?C
2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)tanydx?sinxdy?0
解 分离变量得
cosydysiny?dxsinx
两边积分得 ln|siny|?ln|tanx2|?C'
故原方程的通解为 siny?Ctanx(C??eC'2) (2)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0 解 两边除以 ex?y，并分离变量得
?eydyexdxey?1?ex?1
两边分别积分得方程的通解为 (ex?1)(ey?1)?C(3)x2ydx?(1?y2?x2y2?x2)dy 分离变量得
x21?y21?x2dx?ydy 两边分别积分得微分方程的通解为
arctanx?lny?y2x?2?C
(4)y?xy'?a(y2?y') 分离变量可得
eydxy?ay2?a?x 两边积分求得的通解为 ln|yay?1|?ln(a?x)?lnC，即有 yay?1?C(a?x). 第三节 齐 次 方 程
1.填空题
x (1) 微分方程(x?y)dy?ydx?0的通解是y?Cey (2)已知函数y(x)满足微分方程xy'?ylny,且在x?1时,y?e2x,则x??1时， y? ?1 2.求解下列微分方程 (1)y'?yx?tanyx 解 令 y?ux，则有
dutanu?dxx 两边积分得 sinu?Cx
原方程的通解为 sinyx?Cx
(2)(3x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0
(y)2?2y?3解 方程可化为 y'?xx 1?2yx令 y?ux，则有 ?xdudx?3(u2?u?1)2u?1 分离变量解之得 u2?u?1?Cx?3
原方程的通解为 y2x?yx2?x3?C (3)y'??4x?3yx?y
解 另y?ux，则有ududx??(u?2)2u?1 分离变量两端积分得 lnCx(u?2)??1u?2
原方程的通解为lnC(y?2x)?xy?2x?0 (4) y'?(x?y?1)2
解 另 u?x?y，则方程化为
dudx??u(u?2)分离变量两端积分得
u?Ce?2xu?2 故原方程的通解为
x?yy?2?Ce?2xx?
第四节 一阶线性方程
1. 选择题
(1) 下列为一阶线性方程的是（ C ） A．y'?yx?ey B. y'?y2x?y
2C．xy'?exy?x D.y'?yx???y??x??
(2)*下列为伯努利方程的是( B) A．
dydx?(x?y)3 B. dxxdy?y?yx2 C. ydy?x2y?x3y5 D.dy?x2dxdxy2?x3y3 2. 填空题
(1) (x2?1)y'?2xy?cosx?0满足y(0)?1的特解为y?sinx?1x2?1
(2)设
?x0f(t)dt?f(x)?ex，则f(x)? (x?1)ex
3.求解下列微分方程 7(1) (x?1)y'?2y?(x?1)2
5解 方程改写为 y'?2x?1y?(x?1)2
由一阶线性微分方程通解公式，得
252y?e???x?1dx[?(x?1)2e??x?1dxdx?C]
3 ?(x?1)2[23(x?1)2?C] 3即方程的通解为?(x?1)2[223(x?1)?C]
(2)
dydx?yx?y2 解 原方程可改写为
dxdy?xy?y 由一阶线性微分方程通解公式， x?e???1ydy[?ye??1ydy?C?y(y?C)]
因此，方程的通解为 x?y(y?C) (3)2xdy?ydx?2lnydy
解 上方程变形为
dxdy?2yx?2lnyy 由一阶线性微分方程通解公式，得
22x?e??ydy(?2lny?ydy1yedy?C) ?lny?2?Cy?2
因此方程的通解为x?lny?1?Cy?22 4.求解下列微分方程
(1)*xdydx?y?2xy 解 此方程为n?12时的伯努立方程，两边除以
y可得到
xdyydx?y?2x 令 z?y 上方程化为
dzdx?12xz?1x 由一阶线性微分方程的通解公式得到z?1x(x?C)，
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