第一章 习题解答
rururu1.2给定三个矢量A，B，C：
ruuruururuuA=ax+2ay-3az uuruururB= -4ay+az
uruuruurC=5ax-2az
uruur求：错误!未找到引用源。矢量A的单位矢量aA；
urur错误!未找到引用源。矢量A和B的夹角?AB； urururur错误!未找到引用源。A·B和A?B
rurururuurur错误!未找到引用源。A·（B?C）和（A?B）·C；
rurururuurur 错误!未找到引用源。A?（B?C）和（A?B）?C
ururruuuurAuuruurA解：错误!未找到引用源。aA=u=（ax+2ay-3az）/14 r=1?4?9A
错误!未找到引用源。cos?
ururABrurururu=A·B/AB
?AB=135.5o
ruuruuuururururur错误!未找到引用源。A·B=?11, A?B=?10ax?ay?4az
rururu错误!未找到引用源。A·（B?C）=?42
ururur（A?B）·C=?42
ruuruuruurururu错误!未找到引用源。A?（B?C）=55ax?44ay?11az
uruuuuruurrurur（A?B）?C=2ax?40ay+5az
uurruur1.3有一个二维矢量场F(r)=ax（?y）+ay(x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图
形。
解：由dx/(?y)=dy/x,得x+y=c
1.6求数量场?=ln（x+y+z）通过点P（1，2，3）的等值面方程。
22222
解：等值面方程为ln（x+y+z2）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么x+y+z2=14
2z1.9求标量场?（x,y,z）=6xy+e在点P（2，-1，0）的梯度。
32222r??uuuurzuuuur??uur??uurr322解：由??=ax+ay+az=12xyax+18xyay+eaz得
?y?x?z
uuruuuurr??=?24ax+72ay+az
221.10 在圆柱体x+y=9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:
ur错误!未找到引用源。求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为
rr2uuuururuuA=ax3x+ay（3y+z）+az(3z?x)
urur?A?dS+
??解：错误!未找到引用源。?A?ds=
曲曲错误!未找到引用源。验证散度定理。
曲urur232?A?dS=?(3?cos??3?sin??zsin?)d?d?=156.4
xoz?ururA?dS+
yoz?ururururururA?dS+?A?dS+?A?dS
上下xoz?ururA?dS=
yoz?ururA?dS=?xoz?(3y?z)dxdz=?6
yoz?3x2dydz=0
urururur27? +=+=A?dSA?dS(6??cos?)?d?d??cos?d?d?????2上下上下
?错误!未找到引用源。???AdV=?(6?6x)dV=6?(?cos??1)d?d?dz=193
V???A?ds=193
???即：?A?ds=???AdV
sVVVurr2ruuuruu2221.13 求矢量A=axx+ayxy沿圆周x+y=a的线积分，再求??A对此圆周所包围的表
面积分，验证斯托克斯定理。
???42解：?A?dl=?=a xdx?xydy?l4L
uruur2??A=azy
???4222?===??A?dsydS?sin?d?d?a ?S????4SSlS????即：?A?dl=???A?ds，得证。
1.15求下列标量场的梯度：
错误!未找到引用源。u=xyz+x
2r?uuuuuruur?uuur?uuuruur+ay+az=ax(yz+zx)+ayxz+azxy ?u=ax?y?x?z22
错误!未找到引用源。u=4xy+yz?4xz
r?uuuuuruur?uuur?uuuruur22+ay+az=ax(8xy-4z)+ay(4x+2yz)+az(y?4x) ?u=ax?y?x?z
r?uuuuuruur?uuur?uuuruur错误!未找到引用源。?u=ax+ay+az=ax3x+ay5z+az5y
?y?x?z1.16 求下列矢量场在给定点的散度
??A?Ay?A22错误!未找到引用源。??A=x++z=3x+3y+3|(1,0,?1)=6
?x?y?z?错误!未找到引用源。??A=2xy+z+6z|(1,1,0)=2
1.17求下列矢量场的旋度。
urr??A错误!未找到引用源。=0
uruuruurruur错误!未找到引用源。??A=ax（x?x）+ay（y?y）+az（z?z）=0
1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x’,y’,z’),求：
urr'错误!未找到引用源。P的位置矢量r和Q点的位置矢量r；
错误!未找到引用源。从Q点到P点的距离矢量R；
urr?错误!未找到引用源。??r和??r；
1Rruuruurruu解：错误!未找到引用源。r=axx+ayy+azz;
错误!未找到引用源。?()。
uruuuurruur'r=axx’+ayy’+azz’
ruuuurruururru'错误!未找到引用源。R=r?r=ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）
rr?错误!未找到引用源。??r=0, ??r=3
错误!未找到引用源。
11 ?222R(x?x')?(y?y')?(z?z')
r?uuuur?uur?11
+ay+az) ?()=(ax?yR?x?zR
uur =?axuur =?ax =?
1R3urR =?3
R12(x?x')12(y?y')12(z?z')uuruur2R2R2R ??aayz222RRRry?y'uurz?z'x?x'uu ?ay?az333RRRuuruuruur[ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）]
urR1
即：?()=?3
RR
第二章 习题解答
2.5试求半径为a，带电量为Q的均匀带电球体的电场。
解：以带电球体的球心为球心，以r为半径，作一高斯面，
urururr由高斯定理??D?dS=Q，及D??E得，
S错误!未找到引用源。 r?a时，
urr由??D?dS=
S4??r2，得 423?a3Q
rurQrD? 34?a
urE?rQr 34??0a错误!未找到引用源。 r>a时，
urr由??D?dS=Q，得
S
rurQrD?
4?r3
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