如何求二面角专题训练

如何求二面角专题训练: 第一部分:知识储备:

1/.法向量定义:与某一平面垂直的任一向量都可以称作是该平面的法向量,有无数个,分两类,记作n=(x,y,z),包含两个方向相反,模长为1的单位法向量.记作e.有e=n/练/.若n=(1,2,3)求单位法向量e?

2/.法向量的求法:▲设法向量n的坐标为（x，y，z）即n=x.i+y.j+z.k，因法向量必垂直该平面，故该法向量与该平面内的所有线段垂直，因而有多组法向量与线段所在的向量的数性积为零，联立方程组化简后，令其中一个值为1或其它特殊值,注意不能取0,解得另两个值,即为法向量.(以专题的例讲解,要讲明为什么可以任取一特殊值.至多两个.)

3/.如何用向量法求空间各种角: 平面中的两线角[0,180),平面中的两向量夹角[0,180] 1)异线角平移(0,90]:图26

立几求法:平移后两线相交,求出三边,用余弦定理求夹角

向量求法:求出两条异面直线所在线段的向量坐标,用数量积求夹角. 2)线面角射影(0,90]:图26

立几求法:作出直线在平面的射影,构造直角三角形,解直角三角形

向量求法:作出直线在平面的射影,构造直角三角形,解夹角所在的两条线段的数量积. 避免用斜线所在向量及法向量求向量夹角再求与其互余的线面角,既要讨论两向量 方向以至夹角又要转为互余角,太烦易出错.(放在偏冷题类复习) 3)二面角垂棱[0,180]

①定义略,二面角的位置不确定,故转求二面角所在平面角,其有三个特点:角的顶点在棱上,两边分别在两个平面内,两边都与棱垂直.

▲[求平面AMC与平面BMC所在的半平面所成二面角的大小]比[求面AMC与面BMC所成二面角的大小.] 会更准确 或者 直接说 [二面角所在平面角], 这也是二面角是[0,180]而不是[0,90]的原因.

②求法1:先作出该角,再利用余弦定理等解三角形的办法求角.作出和证明是此法难点 ③求法2:先作出该角,直接用所在线段的向量的数量积a.b=|a|.|b|.cos∠(a,b)=④求法3:转化为求二面角的法向量的夹角,但应注意的是法向量

????????????n=n/

?x2?y?z,讨论法向量离不开线垂直平面.

22???xx+yy+zzpqpqpq求解.

n,n12的夹角与二面角?的大小是相等或互补.因

此应先判断二面角是锐二面角或钝二面角,再确定?的取值. 具体如下: ▲当题中二面角已知或能够明显推断是锐或钝时,可用cos∠(a.b)=(坐标求得余弦值,再转为相应的二面角. 例如:cos?(

??xx+yy+zzpqpqpq) / |a|.|b|代入法向量

??nn,1)=2100,则法向量夹角是60,若已知二面角是钝角,则二面角为120. 2▲当题中二面角难以直观判断出是钝锐时,只能判断法向量的方向是由原点指向三轴八限的哪一位置,有时候还需要平移,再以二面角的位置为参照物,观测各个法向量是射出平面或射入平面

▲“射入”指某一平面的法向量由二面角外部指向内部,如图13;“射出” 指某一平面的法向量由二面角内部指向外部.如图14. 单一平面是没有射出或射入的说法.只有二面角才有内外部,才有出入之分.

▲若两法向量是同出或同入即为同向,此时法向量夹角与二面角所在的平面角?互补,有cos=?-cos?(

n,n12)

1

如图13,14; 如果是一出一入则为异向,如图15

n1为射出,

n2为射入.则两个角相等,有cos?= cos?(

n,n12).

用厚纸板及空标实物示范最好理解.简记:同向互补,异向相等.

此法是先求出法向量坐标,再判断法向量夹角与二面角是相等或互补.特点是易求法向量坐标难判断方向.

▲也可用控制法向量的方向的方法使法向量夹角等于二面角:特点是易判方向难求法向量坐标. (先熟练上法再学习本法.也可不学) 即在设置法向量时把法向量控制成“一进一出”即可.如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”,“向后或向前”,“向左或向右” ？任何平面都有无数多个法向量，但仅且存在两个方向相反的方向，控制平面ABC的法向量n方向方法如下: ▲若要“向上”可设n＝(x,y,1); ▲若要向前”可设n＝(1,y,z); ▲若要向右”可设n＝(x,1,z） ▲ 若将1变成－1,那么将会变成与n方向相反的法向量. 明白每个法向量总有一个明显的方向,便能做到随心所欲控制法向量的“进与出”.

归纳:1如何确立空间坐标架,2如何求空间某点坐标,3如何求法向量的坐标,4如何求法向量的夹角,5如何判断法向量方向,6如何将法向量的夹角转为二面角.只有上述6点全部掌握才能求得高考题18.你掌握了吗?

第二部分/.用空间向量求二面角专题 1/.用余弦定理等解三角形的办法求二面角类型:

练1/.图11,若BA?平面ACD,DE?平面ACD,?ACD为等边三角形, AD=DE=2AB, F为CD的中点. 1)求证平面BCE?平面CDE; 2)求二面角B-EF-D的余弦值.

2/.直接用所在线段向量的数量积求二面角的类型:

练2/.图26在三棱锥 S-ABC中,SA?底面ABC,AB?BC,DE垂直平分SC,且分 别交AC,SC于D,E,SA=AB,SB=BC,求E-BD-C所成二面角的平面角?的度数?

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练3/.四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形,侧棱PD?底面ABCD,PD=DC, E是 PC中点,作EF?PB交PB于点F. (1)证明:PA//平面EDB; (2)证明:PB?平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小.图18

3/.用法向量求(已知钝锐的)二面角类型:

练4/:图16在正三棱柱ABC-A`B`C`中E?BB`,截面AEC`?侧面AC`. (1)求证BE=B`E (2)若,AA`=AB求平面AEC`与平面ABC所成二面角(锐角)的度数.

4/.用法向量求(未知钝锐的)二面角类型:(法向量夹角等于二面角所在的平面角类型)

练5/.易.图27已知PA?圆面ABC,AB是直径,AC=AP=1,AB=2,求二面A-PB-C的夹角?的余弦值?

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练6/.图28在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,?ABC=900,SA?平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,1)求四棱锥VS?ABCD,2)求面SCD与面SAB所成二面角?的正 切值?

练7/:四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=3. (1)求证BC?SC, (2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小?图17难

5/.用法向量求(未知钝锐的)二面角类型:(法向量夹角与二面角所在的平面角互为补角类型) 练8/.图12已知四边形ABCD是矩形,AB=2BC=2,三角形PAB是正三角形, 且平面ABCD?平面PCD,

1)若O是CD中点,证明BO?PA 2)求二面角B-PA-D的余弦值.

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