6/.用控制法向量的方向的方法使法向量夹角等于二面角的类型： 练9/图25四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,?DAB?90?, PA?底面ABCD,且PA=AD=DC=
12AB=1,M是PB的中点. 1)证明：面PAD⊥面PCD； 2）求AC与PB所成的角； 3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.(2008年高考)
练10/.图11在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a, 证明PD⊥平面ABCD,2)平面PAC⊥平面PBD,3)求证二面角P-BC-D是450
5
二面角专题答案:练1解1)设AC所在直线为X轴,Y轴在AD的右上方,AB为Z轴,建立坐标系如图,设AC=2a,过D点作DM?Y轴交于M点,由直角三角形ADM得AM=3a,则有A(0,0,0),B(0,0,0),C(2a,0,0),D(a,3a,0),E(a,3a,2a).用向量可证. 法2)?AB?平面ACD,DE?平面ACD,?AB∥DE,?ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,?CD=DE,过CE作等腰?CDE的高DH,?DH?CE,且H点为CE中点??ACD为等边三角形?F为CD中点?AF?CD,连结
11DE,AB=DE,?FH?DE?四边形ABHF是矩形.?BH?CF, 22BH?HF,?BH?平面CDE,?HB?平面CBE,?平面BCE?平面CDE. 2)略
练2证:以A为原点,AC所在直线为Y轴,AS所在直线为Z轴建立空间直角坐标系,可证?EDC是所求的二面角,
FH,?FH是?CDE的中位线?FH∥DE,FH=设SA=1,DC=(0,量,SA=1,SC=(0,
2331,0),DE=(0,,),或可证SC?平面BDE,SA?平面ABC,故SA,SC可分别看作是其法向3623,-1),AS=(0,0,1), 故COS
10.但二面角为锐角,故?=60 2练3解:证(1)连结AC交DB于O点,OE为?PAC中位线,OE//PA...
(2)BC?面PDC?BC?DE,PC?DE,?DE?平面PCB?PB?DE?PB?面EFD.
(3)解以D为原点,建立坐标架如图:由PB?面EFD??EFD是二面角所在的平面角.设DC=a,P(0,0,a),C(0,a,0),
aa,),B(a,a,0),PB=(a,a,-a)设F(x,y,z),?PF=?PB,?(x,y,z-a)=?(a,a,-a) 则x=?a,y=?a,z=(1-?)a. 221111222即F(?a,?a,(1-?)a),FE=(-?a,(-?)a,(?-)a) ?EF?PB ?FE.PB=0-?a+(-?)a-(?-)a=0
2222E(0,解得?=
661aa2aaaaaa2aa,FD=a )则FE=(-,,-),FD=(-,-,-). FE=?F(,,
33333663336322222661?a.a)=,??EFD=即... ?FE.FD=a-a+a=a,?COS
2333918966练4解1)以A为坐标原点建立空间直角坐标系如图.设正?ABC的边长为a, BB`=b, 则B(
3a3a3aa,,0),C`(0,a,b),设EB=c,则E=(a,,c),AE=(a,,c),AC`=(0,a,b). 222222设平面AEC`的法向量为
n1=(x,y,z), 因AE?n1, AC`?n1?3aax?y?cz?0?得?2,令y=b,得z= -a, 2?ay?bz?0?x=
33(-b+2c)?n1=((-b+2c),b,-a), ?X轴?平面AC`?平面AC` 的法向量为n2=(1,0,0), 23?面AEC`?面AC`,?n1?n,则2nn.1=0,即2bbbb3(-b+2c)=0,?c=.即BE=,则B`E=b-==BE
22223解2):?AA`?平面ABC,?平面ABC的法向量
n3=(0,0,1)?AA`=AB?b=a ?n1=(0,a,-a),
n1=
2a,
?COS
?a20000=- 故
附注1:本题线段没有给出长度,但又要使用空标,故只能设a,b,c只设两个能否解决问题?从本题的设数中学会什么? 附注2:弄清
n,n23能直接知道的原因?弄清取1的原因?取其它数值可否? 向左,
附注3:怎样分辨出
n1n3向上?基本同向?两法向量夹角与二面角互补?COS(二面角)= -COS<
n,n13>.
附注4:本题还能在什么地方设置标架?
附注5:问题1)用立几直证容易吗?假若在高考中遇到此类难于直证的第一小问,此题给出了什么启示?
练5解:连结OC,过C点作CE?AB交AB于E,以A为原点作空标A-XYZ如图, 平面PAB的法向量n1=(1,0,0)射入,令y=2则平面ABC的法向量n2=(23,2,4) 射出,COS
6 4111,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),SD=(,0,-1),DC=(,1,0), 222111面SAB的一个法向量是n1=AD=(,0,0)方向是射入二面角内部,平面SCD个法向量是n2=AD=(1,-,),
222练6解:以A为原点,建立空标A-XYZ,如图,A(0,0,0),D(求法略,方向是射出二面角内部,故COS?=COS
62,tan?=. 32
练7解(1)略.(2)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图略.设SD=a,则S(0,0,a),A(1,0,0), B(1,1,0),C(0,1,0).BC=(-1,0,0),BS=(-1,-1,a),?BS=3,即1?1?平面ASD的单位法向量为得?a2=3,?a=1,即BS=(-1,-1,1),
n1=(0,1,0),设平面BSC的法向量为
n2=(x,y,z),?BS?n2,BC?n2
??x?y?z?00?1?1?020?
45. 附注1:n=(0,1,0)的原因?
10附注2:怎样分辩出n1向二面角内部射入,n2由内向外射出,异向故其夹角与二面角相等)
练8证明1)连结OP,OA,因O是CD中点,故BC=CO=1,因四边形ABCD是矩形, 故BO=2,因AD=OD=1,故OA=2,因
ABBOOA=
+
222,故BO?OA.又因平面ABCD?平面PCD,矩形
2ABCD,故BC?平面PCD,故BC?CP,故CP=故DP=因
2BP2?BC=
22?1=3,因面ABCD?面PCD,故AD?DP,
2AP=
2?AD=
2222?1=3,因O为CD中点,DP=CP=3,故OP?CD,故由勾股定理得OP=2,
2BPBOOP+
2故BO?OP.因OP?OA=O,故BO?面AOP,故BO?AP.
证2)设CD中点O由1)可证OB?AP,OB?OA,因OA=2,OP=2,有
APOPOA=
+
222,故OA?OP.
7
以O为原点,OB为Z轴,OP为x正半轴,OA为y轴正半轴,建立空间直角坐标系.O(0,0,0), A(0,2,0), P(2,0,0),
B(0,0,2), D(0,
2222,-),PA=(-2,2,0), BP=(2,0,-2),DP=(2,-,)
2222???BP.n1?0?2.x1?2z1?0设平面B-PA的法向量为n1=(x1,y,z1),有?,则?, 取x1=1,有n1=(1,1,1)
1?2x1?2y?0??PA.n1?0?1??22?2??DP.n2?0y??x2222设平面D-PA的法向量为n2=(x2,y,z2),有?,则?2??PA.n2?0??2x?2y?022?.nn取x=1,有n=(1,1,-1). ?COS(n,n)=n.n122z2?0,
2212=
?1,1,1??.1,1,?1?11=, ?二面角B-PA-D的余弦值为-.
3.3133附注1:本题结论1不能直接作为证2)的条件.因O是CD中点是1)的条件下证得,而2)没有此条件.故证2)之前必须设辅助线O是CD中点才能使用1)结论.
附注2:求2)中的D标时,D点不在y轴上,须在D点向OA作垂线交于K点,因OD=OA, 得OK=
yD=
2222,KD=ZD=-,故D(0,,-)而非(0,-1,0)
2222附注3:本题的二面角没有给出是锐钝角,也难于观察判断.故只能依据法向量的方向利用其与二面角的关系求得.
附注4:若本题改求二面角的正弦值,还需要讨论法向量夹角与二面角的关系吗? 附注5:因
n与n12均是二面角内部向两平面外射出,故法向量夹角与二面角所在平面角互补.将
n及平面B-PA放置
1在空间第一卦限内最好理解.)
附注6:坐标架放在D点,以CD,AD分别为X轴和Y轴可以吗? 附注7:本题线线关系全部是用勾股定理证得,给予什么启示?
练9解1,2),略3):以A为原点建立空间坐标系A-XYZ如图A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,M(0,1,
11) ,AM=(0,1,), 221)CB=(-1,1,0)设面AMC的法向量为n1＝(x,y,?1), 设面BMC的法向量n2=(x,y,1). 2111?n1?AM＝(x,y,?1)?(0,1,)?0 n1?AC＝(x,y,?1)?(1,1,0)?0解得n1＝(?,,?1)；
222111?n2?MB＝(x,y,1)?(0,1,?)＝0 ,n2?CB＝(x,y,1)?(?1,1,0)＝0解得n2＝(,,1)，
222AC=(1,1,0),MB=(0,1,
设?为二面角得大小，则cos?＝
n1?n2n1n2＝?22，?二面角A-MC-B的大小为arccos(?). 33附注1:可见设置好法向量的方向就能直接知道法向量夹角与二面角的关系.不妨判出方向再与控制的方向验证.
附注2:n1和n2在悬空,怎判断其方向是出或入? 练10答案略.
8
相关推荐：
loading