第2讲 概率、随机变量及其分布列
高考定位 1.随机事件的概率、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度.
真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) 1A.5
2B.5
1C.2
4D.5 解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为答案 A
2.(多选题)(2020·新高考山东卷)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi＞0(i＝1，2，…，n)，∑p＝1，i＝1i定义X的信息熵H(X)＝－∑plog2pi.( ) i＝1iA.若n＝1，则H(X)＝0
B.若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大
1
C.若pi＝n(i＝1，2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大
D.若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P( Y＝j)＝pj＋ p2m＋1－j(j＝1，2，…，m)，则H(X)≤H(Y)
解析 对于A，当n＝1时，p1＝1，H(X)＝－1×log21＝0，故A正确；对于B，133?13?1
当n＝2时，有p1＋p2＝1，此时，若p1＝4或4都有H(X)＝－?4log24＋4log24?，故
??
n
n
2121
＝或＝.故选A. 105C355
n11111
B错误；对于C，当pi＝n(i＝1，2，…，n)时，H(X)＝－i∑ log＝－n×log2＝1nnn2n＝log2n，显然H(X)随n的增大而增大，故C正确；对于D，法一 当n＝2m时， H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m) ＝－[（p1log2p1＋p2mlog2p2m）＋（p2log2p2＋
p2m
－1
log2p2m－1）＋…＋（pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1）]，
H(Y)＝－[（p1＋p2m）log2（p1＋p2m）＋（p2＋p2m－1）log2（p2＋p2m－1）
＋…＋（pm＋pm
＋1
）log2（pm＋pm＋1）]，
p1p2m（p1＋p2m）p2m＝由于p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2(ppp2m)＜log2（p1＋p2m）1·1·
[]
log2(p1＋p2m)p1＋p2m＝(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)，同理可证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1＜(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)，…，pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＜(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)，所以H(X)＞H(Y)，故D错误.
13法二(特值法) 令m＝1，则n＝2，p1＝4，p2＝4. P(Y＝1)＝1，H(Y)＝－log21＝0， 133??1log＋log?H(X)＝－424424?＞0， ??∴H(X)＞H(Y)，故D错误. 答案 AC
3.(2020·浙江卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.
解析 ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球， 1111
所以P(ξ＝0)＝4＋4×3＝3. 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2， 212111211
则P(ξ＝1)＝4×3＋4×3×2＋4×3×2＝3，
2111212112111
P(ξ＝2)＝4×3×2＋4×3×2＋4×3×2＋4×3×2＝3， 111
所以E(ξ)＝0×3＋1×3＋2×3＝1.
1答案 3 1
4.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
1经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 1
解 (1)甲连胜四场的概率为16. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况：
11
甲连胜四场的概率为16；乙连胜四场的概率为16； 1
丙上场后连胜三场的概率为8. 1113
所以需要进行第五场比赛的概率为1－16－16－8＝4. (3)丙最终获胜，有两种情况：
1
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为8；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空111
结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为16，8，8. 11117
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 8168816
考 点 整 合
1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式.
m事件A中所含的基本事件数P(A)＝n＝. 试验的基本事件总数
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