3.3.2 利用导数研究函数的极值
课堂探究
探究一 求函数的极值
解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f′(x)＝0只是函数在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x0处取得极值．函数f(x)在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的．
【典型例题1】 求下列函数的极值： (1)y＝f(x)＝3x－x＋1； (2)f(x)＝xe.
思路分析：首先对函数求导，求得f′(x)，然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
112
解：(1)y′＝9x－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－. 33当x变化时，y′和y的变化情况如下表： 3
2xx y′ y ?－∞，－1? ??3??＋ 单调递增 1－ 30 11极大值 9?－1，1? ?33???－ 单调递减 1 30 7极小值 9?1，＋∞? ?3???＋ 单调递增 111 因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝.
39
17
而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝. 39(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝2xex＋x2·ex＝ex·x(2＋x)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ 单调递增 －2 0 4极大值 e2(－2,0) － 单调递减 0 0 极小值0 (0，＋∞) ＋ 单调递增 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 1 / 4
4
当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝.
e2探究二 求函数的最值
利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通．令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函数值f(x1)，f(x2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值．
【典型例题2】 求下列函数的最值： (1)f(x)＝－x＋3x，x∈[－ 3， 3]； (2)f(x)＝－x＋2x＋3，x∈[－3,2]．
思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较． 解：(1)f′(x)＝－3x＋3.
令f′(x)＝－3(x－1)＝0, 得x＝±1，
2
2
3
2
3
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－ 3)＝0，f( 3)＝0.
故f(x)的最大值为2，最小值为－2. (2)f′(x)＝－3x＋4x，
4
由f′(x)＝x(4－3x)＝0，得x＝0，或x＝.
3当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
2
x f′(x) f(x) －3 (－3,0) － 0 0 极小 ?0，4? ?3???＋ 4 30 极大 ?4，2? ?3???－ 2 48 值3 113值 27 3 故当x＝－3时，f(x)取最大值48； 当x＝0或x＝2时，f(x)取最小值3. 探究三 求参数的取值
已知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题．解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．
b1
【典型例题3】 设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
x2(1)求a，b的值；
2 / 4
?1?(2)在?，2?上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值． ?4?
思路分析：(1)可以由条件列出关于a，b的方程组求解；(2)存在x0使不等式c≥f(x0)成立，含义是函数f(x)的图象上至少有一点在直线y＝c的下方，也就是说只需c≥f(x)min.
b
解：(1)因为f(x)＝2ax－＋ln x，
xb1
所以f′(x)＝2a＋＋.
x2x
1
因为f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
2
?1?所以f′(1)＝0，f′??＝0. ?2?
即解得
11
所以a，b的值分别为－，－.
33
?1?(2)在?，2?上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由(1)知f(x)
?4?
21
＝－x＋＋ln x.
33x
211
由f′(x)＝－－＋
33x2x
2x2－3x＋1(2x－1)(x－1)＝－＝－，
3x23x2
?11??11?所以当x∈?，?时，f′(x)＜0，故f(x)在?，?上单调递减； ?42??42??1??1?当x∈?，1?时，f′(x)＞0，故f(x)在?，1?上单调递增； ?2??2?
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0， 故f(x)在(1,2)上单调递减．
?1??1?所以f??是f(x)在?，2?上的极小值， ?2??4?
11?1?1
而f??＝＋ln＝－ln 2，
23?2?3
f(2)＝－＋ln 2，且f??－f(2)＝－ln 4＝ln
2
76
?1???
32
－ln 4，
3 / 4
又e－16＞0， 所以ln
－ln 4＞0，
3
?1?所以在?，2?上f(x)min＝f(2)， ?4?
7
所以c≥f(x)min＝－＋ln 2.
6
?7?所以c的取值范围为?－＋ln 2，＋∞?， ?6?
7
所以c的最小值为－＋ln 2.
6探究四 易错辨析
易错点 忽视对极值点的验证
【典型例题4】 已知函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1处有极值10，求a，b的值．
错解：f′(x)＝3x－2ax－b. 由题意得3－2a－b＝0， 1－a－b＋a＝10，
??a＝3，解得?
?b＝－3?
2
2
3
2
2
??a＝－4，
或?
?b＝11.?
错因分析：在x＝1处有极值10，则x＝1是f′(x)＝0的根．但f′(x)＝0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x＝1处有极值．
正解：f′(x)＝3x－2ax－b.
由题意得3－2a－b＝0,1－a－b＋a＝10，
??a＝3，
解得?
??b＝－3
2
2
??a＝－4，
或???b＝11.
2
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x－1)≥0， 所以f(x)单调递增，不存在极值，故应舍去． 当a＝－4，b＝11时，满足题意． 所以a＝－4，b＝11.
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