2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案

必修（4）第二章 平面向量导学案

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

编写人：______ 审核人： 时间：2009-4-24

（一）学习目标

1.掌握向量数乘的定义 3.了解向量数乘的运算律 2.理解向量数乘的几何意义 4.掌握向量共线定理 （二）重点难点

1. 重点：向量数乘的定义 2．难点：向量共线定理 （三）探究导入

a给出向量a，如图：???

??求作：a+a+a即3a以及-a-a-a即-3a

由此可知：a+a+a即3a与向量a的方向相___,长度是向量a的___倍

?????? -a-a-a即-3a与向量a的方向相___,长度是向量a的___倍 （四）新课学习

知识点：

1.向量数乘的定义：___________________________________

注意：由“探究导入”可知: 数乘向量?a其方向、长度与向量a有如下关系：

??当?>0时，?a与向量a的方向相________,长度是其______倍 当?<0时，___________________________________________

?当?=0时，?a=_______

2.向量数乘运算满足以下运算律：

（1）____________； （2）________________； （3）_______________；

??????问题：设a?0，b=?a，那么b与a有什么关系？

3.向量共线定理：（课本P89）

________________________________________________________。

??????即设a?0,则b与a共线? 有唯一实数?，使得b=?a

??????acabb例1.计算（2+3－）－（3－2+c）=_______

????????????????

1

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例2. （课本P89 例7）如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且

????AB=a,AD=b，你能用a、b表示AM、MB、MC和MD吗?

例3. （与线段有关）（课本P90 练习2） 已知：点C在线段AB上，且则AC=____AB ， BC=____AB

变式练习：已知AP=

例4.(与四边形有关)（课本P92 B组 4）已知四边形ABCD满足条件

AB?DC，试判断其的形状，并证明。

43ACCB52ADCMB=，

AB，则BP=____AB

思考：（1）若将条件改为AD=

（2）若将条件改为AD?BC，AB?AD，其形状如何？加以证明。

2

13BC，其形状如何？加以证明。

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例5.(联系向量加、减法)（《学考》P50 右下例1） 如图：D、E、 F分别为⊿

?1??ABC的边BC、 CA、 AB的中点，且BC=a,CA=b求证：①AD=－a－

2?1?1??1?； ②=+； ③=－a+b； ④AD+BE+CF=0 CFbbBEa222

??例6.(共线定理应用)（1）（课本P90 练习4）判断下列各题中的向量a与b是

AFEBDC否共线：

?????????? ①a=－2e，b=2e； ②a=e1－e2，b=－2e1+2e2.

??????OA=a+b，OB=a+2b，例7. (课本P89 例6）已知任意两个非零向量a、b，??OC=a+3b，你能判断A、B、C三点是否在一条直线上？

（五）达标训练

????????????a=e1+2e2，a+b，a－b，b=3e1－2e2,求：1.（课本P91 10）已知：3a+2b.

?2.设a是非零向量，?是非零实数，下列结论正确的是( ) A. a与－?a的方向相反 B.??a≥a 2 C. a与?a的方向相同 D. ??a=?a

????? 3

必修（4）第二章 平面向量导学案

3.四边形ABCD中，若AC=AB+AD，则四边形ABCD的形状为（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形

4.如图：ABCD为任一四边形，E、F分别为边AD、BC中点，求证：

EF?12(AB?DC)

EAD

????????5.(《学考》P51右下2)已知向量e1、e2不共线，若a=3e1-4e2，b=6e1+ke2且??a∥b，则k的值为（ ）

BFCA.8 B.-8 C.3 D.-3

（六）课堂小结

（七）作业布置

课本 P91 A组 6，9

P92 11，12，13 B组 3，5 《学考》P51 右下3，4，5

P52 6，7，8，9，10，能力扩展2

（八）学后反思

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