计数原理、概率、随机变量及其分布列,
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．A、B、C、D、E五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为 ( ) A．120 B．324 C．720 D．1 280 解析：第一天有5种排法，以后各天都有4种排法，故总排法为N＝5×4×4×4×4＝1 280种． 答案：D
2．在(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，含x4项的系数是 ( ) A．135 B．－135 C．375 D．－117
r解析：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)(1－x)9，且(1－x)9的展开式的通项是Tr＋1＝C9·(－x)rr＝C9·(－1)r·xr，因此(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，含x4项的系数等于1×C4(－1)4
9·
－C1(－1)1＝135. 9·答案：A
3．(2010·安顺模拟)某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么选派的4人中恰好有2名女生的概率为 ( ) 2456A. B. C. D. 791113
4解析：由已知易知至少有一名女生的情况共有C4而恰有2名女生的情况共有8－C5种，2C23C5种可能， 2C2C6
故其概率为435＝.
C8?C13
3答案：D A4S
4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ( )
41132A. B. C. D. 4243解析：由已知可设△ABC的边AB上的高为h. 11则S＝|AB|·h，S△PBC＝|PB|·h，
22所以S△PBC＝
|PB|S
·S>， |AB|4
- 1 -
13
又|PB|>|AB|的概率为；
44S3
故S△PBC>的概率为.
44答案：C
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝pk(1－p)1k(k＝0,1)，则E(ξ)，D(ξ)的值分别是( )
－
A．0和1 B．p和p2 C．p和1－p D．p和(1－p)·p 解析：ξ的分布列表为：
ξ P 知ξ服从两点分布．
∴E(ξ)＝p，D(ξ)＝1×p(1－p)＝p(1－p)． 答案：D
6．已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62)，P(ξ≤5)＝0.89，则P(ξ≤3)＝ ( ) A．0.89 B．0.22 C．0.11 D．0.78
解析：由题意知正态分布图象关于直线x＝4对称，故由P(ξ≤5)＝0.89?P(4≤ξ≤5)＝0.89－0.5＝0.39，因此P(3≤ξ≤4)＝0.39，故有P(ξ≤3)＝0.5－P(3≤ξ≤4)＝0.5－0.39＝0.11. 答案：C
7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，?，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 ( ) 1111
A. B. C. D. 5168306408
3解析：基本事件总数n＝C8，以1为首项3为公差的等差数列，共有6项，符合题意
0 1－p 1 p 的火炬手有4种选法；同理以2为首项3为公差的等差数列，以3为首项3为公差的等差数列，符合题意的选法分别有4种，故所求概率P＝答案：B
8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人
4?4?41
＝. 368C8参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 ( )
A．360 B．520 C．600 D．720 解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人
22插入其中即可，则共有C5A22A3种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共3322134有C1综合可得不同的种发言顺序为C5A22C5C5种不同的发言顺序，2A3＋C2C5A4
- 2 -
＝600种． 答案：C
9．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数ξ的期望是
( )
80555010A. B. C. D. 9993
225
解析：由题意一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，则
33955010，?，所以E(ξ)＝. 成功次数ξ～B?9??9答案：C
1
10．(2010·三亚模拟)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为
2
( )
1137A. B. C. D. 424811
解析：两点设为a，b，则0≤a≤1,0≤b≤1，两点之间的距离小于，则|a－b|<，画出2233
可行域，为图中阴影部分，面积为，概率为.
44
答案：C
11．(2009·安徽高考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
( )
1234
A. B. C. D. 75757575
22解析：甲从6个点中任意选两个点连成直线总共有C6种不同的选法，同样，乙也有C622种不同的选法，所以总共有C6＝225种选法，其中相互平行但不重合的直线共有6C641对，甲、乙两人选一对，各选一条有C1·＝12种选法，所以所求概率就是. C6275
k答案：C4D
12．已知函数f(x)＝x3－3x，当x在区间上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概
- 3 -
率是 ( )
3－33－32－32－3A. B. C. D.
4343解析：函数f(x)＝x3－3x的两个极值点是－1、1，三个零点是 ±3、0，结合函数图象和函数的单调性可以知道，当x在区 间，[3，2]上取值时符合要求，故所求的概率是 1＋(2－3)3－3
＝. 44答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，
曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影 部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形 OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴 影部分的概率是________． 解析：S矩形OABC＝2π，S阴影＝由几何概型概率公式得P＝1答案：
π
1
14．(2010·烟台模拟)若(ax2－)9的展开式中常数项为84，则a＝__________，其展开式中
x二项式系数之和为________．(用数字作答) 解析：二项式(ax2－
r1)rC9·a
9－r?π0sinxdx＝2，
21
＝. 2ππ
19r)的通项公式为C9·ax
9－r·x
18－2r·(－1)r·x9－6－r＝(－
·x
18－3r，令18－3r＝0可得r＝6，即得常数项为(－1)6C6a9·
＝84a3＝84，
解之得a＝1.其展开式二项式系数和为29＝512. 答案：1 512
15．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是________．
1114解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C12C2C2C2A4＝384种不同的排法；若取
出的球的标号为1,1,4,4，则共有A44＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有A44＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432. 答案：432
- 4 -
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